Νίκος Λυγερός: Λοξή επίθεση και πλάγια σκέψη

..."Αυτό το σημείο αποδεικνύει μία ιδέα της θεωρίας νοητικών σχημάτων ότι δηλαδή βλέπουμε ό,τι καταλαβαίνουμε."

Η λοξή επίθεση επινοήθηκε από τον Επαμεινώνδα και δοκιμάστηκε από το Φίλιππο. Εντούτοις, δεν αναγνωρίστηκε η εμβέλεια της τακτικής της παρά μόνο όταν εφαρμόστηκε από τον Αλέξανδρο στη μάχη των Γαυγαμήλων τον Οκτώβριο του 331 π.Χ. Το κύριο γνώρισμα αυτής της επιθετικής τακτικής είναι ένας συμπαγής σχηματισμός 256 οπλιτών σε βάθος 16 σειρών. Ο κάθε οπλίτης των πρώτων σειρών κρατά μία σάρισα μήκους 4 έως 7 μέτρων ανάλογα με τις μάχες. Οι οπλίτες των επόμενων σειρών στηρίζουν τη δική τους σάρισα στον ώμο αυτού που προηγείται. Εκείνη την εποχή, δεν είχε βρεθεί καμία άλλη παράταξη να αντικρούσει αυτή τη δομή η οποία στη συνέχεια εξελίχτηκε στη ρωμαϊκή λεγεώνα. Όμως η δύναμη της οφειλόταν στη δυναμική της. Πράγματι, αυτή η δομημένη σαν σκαντζόχοιρο και προστατευμένη μάζα είχε μία απαράμιλλη διεισδυτική δύναμη. Εξάλλου ήταν ένα από τα βασικά συστατικά στη μάχη της Χαιρώνειας, χωρίς ωστόσο να αποτελεί την αιχμή του δόρατος της μακεδονικής επίθεσης. Στη μάχη των Γαυγαμήλων, ο Αλέξανδρος, όπως το τονίζει ο ιστορικός και στρατηγιστής Frontin, εφάρμοσε τη δική του γραμμή μάχης με τέτοιο τρόπο που μπορούσε να αναπτυχθεί προς όλες τις κατευθύνσεις· έτσι, σε περίπτωση που οι άνδρες του περικυκλώνονταν, μπορούσαν να πολεμήσουν από όλες τις πλευρές. Η επίθεση στην αριστερή πτέρυγα του Δαρείου αιφνιδίασε τον τελευταίο διότι η πτέρυγα του αυτή προσπεράστηκε από ένα τμήμα του ιππικού και διασκορπίστηκε με λοξό τρόπο. Παρόλο που η επίθεση στην αριστερή πτέρυγα ήταν αναμενόμενη εφόσον αποτελούσε τη φυσική προέκταση του κρατήματος της ασπίδας της εποχής, παραμένει ένα καινοτόμο στοιχείο μέσα σ’ ένα πλαίσιο το οποίο συνήθως είναι κεντροθετημένο και μετωπικό. Η ουσία της που προέρχεται απευθείας από τη φύση των υλικών, είναι ξεκάθαρη a posteriori εφόσον επιτρέπει μία σύγκλιση δράσης και μία ενίσχυση της επίθεσης μειώνοντας τη γωνία της, που σημαίνει ότι σε περίπτωση αντίστοιχης αντίστασης, προσφέρει μία δυνατότητα διείσδυσης του μετώπου, όταν μάλιστα είναι ενισχυμένη με το βαρύ οπλισμό των οπλιτών που εκμεταλλεύεται την ίδια του την αδράνεια σε επιτάχυνση.

Η λοξή επίθεση λόγω του συνόλου των χαρακτηριστικών της, αποτελεί τη στρατιωτική εφαρμογή του νοητικού σχήματος της πλάγιας σκέψης. Το αρχικό της σημείο είναι η συνειδητοποίηση της μη δυνατότητας άμεσης πρόσβασης στη γνώση. Άρα, κάθε άμεση μέθοδος είναι προεξοφλημένη σε αποτυχία. Αυτό το στάδιο, το οποίο μπορεί να φαίνεται στοιχειώδες για κάποιον αμύητο στην έρευνα, είναι στην πραγματικότητα το δυσκολότερο για τον κόσμο της νόησης. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι είναι εξαιρετικά δύσκολο και ως εκ τούτου σπάνιο να παρουσιάζουμε αποδείξεις της μη ύπαρξης μίας άμεσης μεθόδου. Έτσι ο ερευνητής σ’ αυτή την έμμεση φάση στηρίζεται στη διαίσθησή του και την εμπειρία του. Μόνο που όπως αυτές είναι περιορισμένες ακριβώς μέσα σε αυτό το πλαίσιο, στο τελικό στάδιο τού απομένει μόνο η νοημοσύνη του για να εξάγει τα συμπεράσματά του. Ένας τρόπος να εξελιχτούμε σ’ αυτόν τον τομέα, είναι να διαχειριστούμε τα προβλήματα αποκλείοντας άμεσες μεθόδους. Αυτή η τεχνική που ίσως να φαίνεται τεχνητή, αποτελεί ένα θαυμάσιο μέσο για να αντιληφθούμε το υπό συζήτηση πρόβλημα με ένα βαθύτερο τρόπο. Η αύξηση της δυσκολίας πρόσβασης στη λύση, επιτρέπει μία λεπτή ανάλυση της δυναμικής των νοητικών δομών. Επιπλέον, η πλάγια σκέψη, ως ευρετική, μάς δίνει επίσης πρόσβαση σε αδύνατα σημεία της οντότητας του προβλήματος, διότι αυτά δεν βρίσκονται αναγκαστικά στην ορατή πλευρά του προβλήματος. Και είναι η κατανόηση που τα καθιστά ορατά. Αυτό το σημείο αποδεικνύει μία ιδέα της θεωρίας νοητικών σχημάτων ότι δηλαδή βλέπουμε ό,τι καταλαβαίνουμε.

Εν κατακλείδι, η πλάγια σκέψη όπως η λοξή επίθεση αποτελεί ένα αποτελεσματικό μέσο διαχείρισης ενός προβλήματος μέσω της εφαρμογής της πολυδιάστατης πολυπλοκότητάς της. Πρόκειται, λοιπόν, για στοιχεία τακτικής για τα οποία οι γνώσεις στρατηγικής είναι προαπαιτούμενο. Με αυτή την έννοια, εισέρχονται στο χώρο του μη γραμμικού συλλογισμού.

Νίκος Λυγερός: Η έννοια της εξίσωσης

...''Οι εξισώσεις που βρίσκονται παντού και δεν είναι πουθενά γραμμένες, μας υπενθυμίζουν ότι βλέπουμε μόνο ό,τι κατανοούμε''. 

Μία από τις βασικότερες έννοιες των Μαθηματικών είναι η κωδικοποίηση των ιδεών. Και είναι η ακρίβεια της κωδικοποίησης μέσω των εξισώσεων που εξασφαλίζει την αποτελεσματικότητα των Μαθηματικών. Η εξίσωση μπορεί, λοιπόν, να θεωρηθεί ως το αποτέλεσμα και η βάση της μοντελοποίησης των φαινομένων μέσω της νοημοσύνης. Η εξίσωση είναι η ουσία με την έννοια ότι αποτελεί το κοινό στοιχείο μιας οικογένειας προβλημάτων. Πιο γενικά, θα μπορούσαμε να πούμε ότι όποιος ξέρει να λύνει εξισώσεις, ξέρει να λύνει προβλήματα διότι η εξίσωση εμπεριέχει τη δυσκολία και την οντότητα, με τη μαθηματική έννοια, του προβλήματος. Η εξίσωση είναι το αντικείμενο του κειμένου, το θέμα των ερμηνειών. Έτσι η μάθηση της επίλυσης των εξισώσεων είναι βασική για όσους θέλουν να ξεπεράσουν τα όρια της τεχνικής για ν’ αγγίξουν την τέχνη των Μαθηματικών και τη γνώση των Επιστημών. Μ’ αυτόν τον τρόπο, μαθαίνουμε τα πρώτα βήματα της μεθοδολογίας και της αλγοριθμικής συγκρίνοντας την πολυπλοκότητα της σύλληψης και την αποτελεσματικότητα της απόδειξης. Η κωδικοποίηση επιτρέπει τη μετάθεση της αξίας των αρχικών ιδεών του προβλήματος στις στρατηγικές της επίλυσης. Και η εξίσωση ως βάση επιτρέπει τη δημιουργία μιας πολύπλοκης δομής πάνω στην οποία βασίζονται και τα Μαθηματικά και οι Επιστήμες.

Ο συνδυασμός των εξισώσεων δημιουργεί την έννοια του γραμμικού συστήματος σε μια πρώτη φάση, από την οποία είναι δυνατόν μέσω της έννοιας της ορίζουσας και της μεθόδου Cramer αφενός, και των κλιμακωτών συστημάτων και της μεθόδου Gauss αφετέρου, να επινοήσουμε γενικότερες ιδέες με ευρύτερο φάσμα όπως τα πολυώνυμα και οι συναρτήσεις. Σ’ αυτό το νέο πλαίσιο, οι εξισώσεις μπορούν να ερμηνευθούν ως συνοριακά σημεία μιας μαθηματικής οντότητας που ελέγχει το νοητικό επίπεδο ενός προβλήματος ή ενός προβληματισμού. Άρα από την άλλη πλευρά, οι εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως ερευνητικά εργαλεία για την ανίχνευση νέων οντοτήτων. Η δύναμη της κωδικοποίησης επιτρέπει την αποκωδικοποίηση του αγνώστου. Η έννοια της εξίσωσης στα Μαθηματικά είναι τόσο ριζική και σε πολλαπλά επίπεδα που χρειάζεται μια σφαιρική εικόνα της πολυπλευρικότητάς της. Οι εξισώσεις που βρίσκονται παντού και δεν είναι πουθενά γραμμένες, μας υπενθυμίζουν ότι βλέπουμε μόνο ό,τι κατανοούμε. Και είναι ενδεικτικό το πόσο δύσκολο είναι να ερμηνεύουμε ένα φαινόμενο ή έναν προβληματισμό όταν δεν μπορούμε να τον κωδικοποιήσουμε και να εκφράσουμε μέσω εξισώσεων την ουσία τους. Οι εξισώσεις με τα νοητικά σχήματα που αποτελούν είναι τα σημεία αναφοράς της έρευνας στα Μαθηματικά και στις Επιστήμες, διότι ο εγκέφαλός μας βασίζεται στα κοινά για να εξετάσει τις διαφορές. Έτσι, η εξίσωση ως ισότητα είναι το στίγμα της νοημοσύνης που εντοπίζει τις διαφορετικές μορφές μιας έννοιας και επινοεί μια καινούργια με βάση την επίλυση.

Το παράδοξο του Russell

Η Principia Mathematica αποτελεί έναν σταθμό σε αυτό που θα μπορούσαμε να ονομάσουμε κλασσική λογική ή απλά λογική, και γράφτηκε από τους Whitehead και Russell στις αρχές του προηγούμενου αιώνα.Ο σκοπός της ήταν φιλόδοξος: Να παράξει όλες τις μαθηματικές αλήθειες μέσα από ένα συνεπές και πλήρες λογικό σύστημα. Με άλλα λόγια, να βρει ένα σύνολο θεμελιωδών παραδοχών, αρκετό να αναπαράγει όλο τον κόσμο της ανθρώπινης λογικής.

Το Παράδοξο του Russell

Η βασική αρχή που ακολουθείται στην Principia Mathematica έγκειται στο γεγονός ότι, αντίθετα με ότι θεωρείτο ως τότε, σε μια συνεπή θεωρία συνόλων (Set Theory), ένα σύνολο είναι διαφορετικό από τα στοιχεία που το αποτελούν και αντιστρόφως ένα στοιχείο ενός συνόλου δεν είναι το ίδιο με το σύνολο.

Ας θεωρήσουμε το εξής παράδειγμα: Θα ονομάσουμε 'συνεπές' ένα σύνολο που δεν περιέχει τον εαυτό του και 'ασυνεπές' ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του. (Παρακάτω θα εξετάσω περισσότερο τι σημαίνει κάτι να περιέχει ή όχι τον εαυτό του). Έστω για παράδειγμα το σύνολο όλων των τετραγώνων. Αυτό το σύνολο δεν είναι τετράγωνο και επομένως δεν αποτελεί μέλος του συνόλου των τετραγώνων, δηλαδή δεν περιέχει τον εαυτό του. Επομένως είναι 'συνεπές.' Από την άλλη μεριά, ας πάρουμε το σύνολο όλων των πραγμάτων που δεν είναι τετράγωνα. Αυτό το σύνολο δεν είναι και πάλι τετράγωνο, αλλά μπορεί να είναι μέλος του συνόλου των πραγμάτων που δεν είναι τετράγωνα, δηλαδή μπορεί να περιέχει τον εαυτό του και επομένως είναι 'ασυνεπές.' Τώρα αν θεωρήσουμε το σύνολο R 'όλων των συνόλων.' Αν το R είναι 'συνεπές,' τότε δεν θα περιέχεται στο σύνολο όλων των συνόλων και επομένως θα υπάρχει ένα μεγαλύτερο σύνολο που να το περιέχει και θα είναι 'ασυνεπές.' Από την άλλη μεριά, αν το R είναι 'ασυνεπές,' τότε θα περιέχει τον εαυτό του στο σύνολο όλων των συνόλων και θα υπάρχει ένα μεγαλύτερο σύνολο που να το περιέχει, πράγμα συνεπές. Αυτό οδηγεί στο συμπέρασμα ότι ότι το R είναι ταυτόχρονα 'ασυνεπές' και ασυνεπές,' πράγμα άτοπο. (Παράδοξο του Russell).

Η ανυπαρξία του Παραδόξου.

Η ουσία του Παραδόξου είναι ότι δεν μπορεί να υπάρξει ένα σύνολο που να περιέχει τα πάντα. Γιατί αν υπάρχει, τότε θα περιέχει τον εαυτό του. Τότε όμως σε κάθε απόδειξη θα χρησιμοποιούμε ως αποδεικτικό στοιχείο αυτό που θέλουμε να αποδείξουμε (αυτοαναφορά). Από την άλλη μεριά, αν το σύνολό μας δεν περιέχει τον εαυτό του (δηλαδή δεν περιέχει τα πάντα,) τότε μπορούμε να εργαστούμε επαγωγικά για κάθε απόδειξη, αλλά θα υπάρχει κάποιο στοιχείο έξω από το σύστημά μας, έτσι ώστε η κάθε μας απόδειξη να μην είναι πλήρης. Με άλλα λόγια, αν το σύστημά μας είναι συνεπές δεν θα είναι πλήρες και το αντίστροφο, αν το σύστημά μας είναι πλήρες δεν θα είναι συνεπές. Αν δηλαδή το Παράδοξο υφίσταται, τότε το σύστημά μας δεν είναι συνεπές κι επομένως ο συλλογισμός μας ότι το Παράδοξο υφίσταται ήταν λάθος, άρα το Παράδοξο δεν υφίσταται. Από την άλλη μεριά, αν το Παράδοξο δεν υφίσταται τότε το σύστημά μας είναι συνεπές κι επομένως ο αρχικός μας συλλογισμός ότι το Παράδοξο δεν υφίσταται ήταν σωστός. Και στις δύο περιπτώσεις βλέπουμε ότι το Παράδοξο δεν υφίσταται!

Το 'μέσα' και το 'έξω' (Ο κόσμος και ο εαυτός)

Η όλη παραπάνω συλλογιστική, η οποία όπως είδαμε οδηγεί σε αυτοαναίρεση, οδήγησε τον Godel στο θεώρημα της πληρότητας. Σε ό,τι με αφορά αυτή τη στιγμή, το θεώρημα του Godel μας λέει ότι αν είμαστε ένα κομμάτι του κόσμου, τότε δεν μπορούμε να καταλάβουμε τα πάντα για τον κόσμο, γιατί ο κόσμος είναι μεγαλύτερος από εμάς (μπορούμε βέβαια να μαθαίνουμε ολοένα και περισσότερα για τον κόσμο). Αν βέβαια θεωρήσουμε ότι ο κόσμος είναι ένα κομμάτι μας, τότε και πάλι παραμένει το πρόβλημα με την έννοια ότι δεν μπορούμε να κατανοήσουμε πλήρως τον εαυτό μας, αφού θα πρέπει να ανακαλύπτουμε ολοένα και περισσότερους κόσμους. Σε κάθε περίπτωση το 'Όλο είτε το προσδιορίσουμε ως ο 'Κόσμος' είτε ως ο 'Παγκόσμιος Εαυτός'

Συμπλήρωμα

1+1=2

Έστω το σύνολο των φυσικών αριθμών.

Ο αριθμός 1 αποτελεί ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του.

Ο αριθμός 2 επίσης αποτελεί ένα σύνολο που περιέχει τον εαυτό του.

Η πράξη της πρόσθεσης είναι μια συνάρτηση που όταν παίρνει έναν αριθμό δίνει τον αμέσως επόμενο.

Με αυτήν την έννοια 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, κοκ.

Σύμφωνα με τους παραπάνω ορισμούς η πράξη 1+1=2 ορίζεται και αποδεικνύεται από τις βασικές παραδοχές.

Αν όμως ορίσουμε την πρόσθεση με έναν άλλο τρόπο, π.χ. με μια συνάρτηση η οποία παίρνοντας τιμές δίνει πίσω τον εαυτό της, τότε 1+1=1, 2+1=2, 3+1=3, κοκ

Εφόσον αυτή η πράξη ορίζεται για όλα τα μέλη του συνόλου, είναι συνεπής και σύμφωνα με αυτή την νέα παραδοχή 1+1=1

Διαπιστώνουμε ότι το πόσο κάνει 1+1 εξαρτάται από τις παραδοχές που έχουμε κάνει. Θα μπορούσαμε για παράδειγμα να ορίσουμε ένα λογικό σύστημα τέτοιο ώστε 1+1=0+0= 1 και 1+0=0+1=0. Αυτό θα αποτελούσε μιαν απλή 'Boolean' τύπου αριθμητική.

Θεωρία Παιγνίων (Και αν όλοι πάμε για την ξανθιά;)

...ο Τζον Νας, τη δεκαετία του ’50, έκανε κάτι παρόμοιο δημιουργώντας ένα νέο μαθηματικό πεδίο που ονομάστηκε «θεωρία παιγνίων»: παρατήρησε πώς συμπεριφέρονται οι άνθρωποι σε διάφορες καταστάσεις, έφτιαξε ένα απλοποιημένο σχήμα των σχέσεων και των ενεργειών τους και επεξεργάστηκε κάποιες εξισώσεις που τις περιέγραφαν. Το αποτέλεσμα δεν ήταν βέβαια ο μαθηματικός τύπος των ανθρώπινων σχέσεων, όμως αποδείχτηκε αρκετά σημαντικό ώστε να του χαρίσει το νόμπελ οικονομίας το 1994.

«Αν παίζουν δύο, συμφέρει να μπλοφάρεις μόνο όταν έχεις τα χειρότερα χαρτιά, όχι όταν έχεις μέτρια». Αυτός ο κανόνας αναφέρεται στο βιβλίο Theory of Games and Economic Behaviour(1944) του μαθηματικού Τζον φον Νόιμαν και του οικονομολόγου Όσκαρ Μόργκενστερν, που συγκαταλέγονται τους θεμελιωτές της θεωρίας παιγνίων.

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μείνει μόνο δύο παίκτες. Ο μοναδικός τρόπος για να κερδίσω ενώ έχω τα χειρότερα χαρτιά είναι να μπλοφάρω. Αν περιμένω την κίνηση του αντίπαλου, θα χάσω, είτε αυτός ποντάρει είτε όχι.

Τον Φον Νόιμαν τον ενδιέφερε το πόκερ μόνο ως σημείο αφετηρίας για μια θεωρία που θα εξηγούσε κάθε είδος ανθρώπινης σχέσης, από την οικονομία ως τις σχέσεις των ζευγαριών. «Η ζωή είναι γεμάτη μπλόφες», υποστήριζε, «γεμάτη μικρές τακτικές παραπλάνησης: αυτό αποκρυπτογραφούν τα παιχνίδια της θεωρίας μου». Στόχος ομολογουμένως πολύ φιλόδοξος, ακόμα και γι’ αυτόν τον εκκεντρικό επιστήμονα που, όπως λέγεται, κατάφερνε να απομνημονεύσει μια σελίδα του τηλεφωνικού καταλόγου μέσα σε λίγα λεπτά. Όμως πολλά συμπεράσματα του Φον Νόιμαν ισχύουν ακόμα σε μεγάλο βαθμό, παρ’ όλο που κάποια οδήγησαν σε παράδοξες προτάσεις. Για παράδειγμα, μετά το Β΄ Παγκόσμιο πόλεμο υπήρχε μεγάλη ένταση ανάμεσα στην ΕΣΣΔ και τις ΗΠΑ. Βασισμένος στη θεωρία παιγνίων, ο Φον Νόιμαν προέβλεψε ότι, όταν η Σοβιετική Ένωση κατασκεύαζε την ατομική βόμβα, θα ξεκινούσε ένας φρενήρης συναγωνισμός πυρηνικών εξοπλισμών. Για να αποφευχθεί αυτό το αδιέξοδο, ο Φον Νόιμαν πρότεινε μια δραστική λύση: να βομβαρδιστεί με πυρηνικά η ΕΣΣΔ για προληπτικούς λόγους.Ευτυχώς δεν εισακούστηκε

Από αυτό το επεισόδιο μπορεί να δημιουργηθεί η εντύπωση ότι Φον Νόιμαν απέκλειε τη δυνατότητα συνεργασίας. Ωστόσο ο ίδιος έθεσε τη συνεργασία στους ακρογωνιαίους λίθους της θεωρίας του. Γνώριζε, πράγματι, ότι σε ορισμένες περιπτώσεις η συνεργασία είναι επωφελής. [1]

Υποθέστε ότι είστε ένας από μια ομάδα αγοριών που διασκεδάζουν σε ένα καφέ. Απέναντί σας, στο άλλο άκρο του καφέ υπάρχει μια ομάδα όμορφων κοριτσιών, όλες εκτός από μια είναι μελαχρινές. Το μόνο ξανθό κορίτσι στην ομάδα είναι αυτό όλα τα αγόρια θα ήθελαν να πλησιάσουν αρχικά. Θα έπρεπε να λάβετε υπόψη ή όχι πως και τα άλλα αγόρια θα ήθελαν και θα προσπαθούσαν να μιλήσουν στην ξανθιά πρώτα;

Τι γίνεται αν όλοι πάτε για την ξανθιά;

Εάν δεν είστε βέβαιοι για το τι πρέπει να κάνετε, τα μαθηματικά μπορούν να σας παρουσιάσουν τον καλύτερο τρόπο για να προχωρήσετε.

Αυτή η κατάσταση μπορεί να είναι γνωστή σε σας. Είναι μια έκδοση μιας σκηνής της ταινίας «A beautiful mind- Ένας Υπέροχος Άνθρωπος» (2001) με το Russell Crowe στο ρόλο του μαθηματικού John Nash.

Η κατάσταση στο καφέ είναι ένα παράδειγμα ενός παιχνιδιού: τα αγόρια είναι οι παίκτες και οι ενέργειες που μπορούν να επιλέξουν (είτε «πηγαίνετε για την ξανθιά» ή «πηγαίνετε για μια μελαχρινή») καλούνται στρατηγικές. Κάθε αγόρι πρέπει να αποφασίσει τι να κάνει χωρίς να έχει γνώση τι θα κάνουν οι άλλοι. Υπάρχει η προφανής στρατηγική αλληλεπίδραση μεταξύ των παικτών. Η θεωρία παιγνίων δίνει στους παίκτες τις συστάσεις σχετικά με τη βέλτιστη στρατηγική τους και παρέχει σε έναν εξωτερικό παρατηρητή μια πρόβλεψη της έκβασης της αλληλεπίδρασης

Στην ταινία ένας χαρακτήρας προτείνει ότι κάθε αγόρι πρέπει να κινηθεί ανεξάρτητα μην λαμβάνοντας υπόψη τους άλλους, υπενθυμίζοντας το διάσημο γνωμικό του Adam Smith (1723-1790) «σε ανταγωνισμό, η μεμονωμένη φιλοδοξία εξυπηρετεί το κοινό καλό». Αυτό το μάθημα του πατέρα των σύγχρονων οικονομικών προτείνει ότι θα ήταν καλύτερο για την ομάδα εάν όλα τα αγόρια πήγαιναν για την ξανθιά.

Μετά από μια έκλαμψη της στιγμής, ο χαρακτήρας του Nash/Crowe υποστηρίζει ότι η θεωρία του Adam Smith χρειάζεται αναθεώρηση. Το καλύτερο συλλογικό αποτέλεσμα, λέει, δεν προέρχεται από κάθε άτομο που ακολουθεί το ενδιαφέρον του, αλλά μάλλον όταν κάθε αγόρι πλησιάσει μια μελαχρινή. Αυτό θα παρήγε ένα καλύτερο αποτέλεσμα για την ομάδα.

Ολοκλήρωση της ανάλυσης Nash/Crowe

Τα επιχειρήματα του Nash/Crowe είναι τα εξής: «Εάν προσπαθήσετε όλοι να κατακτήσετε την ξανθιά, θα ακυρώσετε αμοιβαία τις προσπάθειές σας και κανένας σας δεν πρόκειται να την κατακτήσει. Στη συνέχεια, όταν θα συμβιβαστείτε με τις μελαχρινές, εκείνες θα σας απορρίψουν, γιατί καμιά γυναίκα δεν θέλει να αποτελεί τη δεύτερη επιλογή.

Αλλά τι θα συμβεί αν κανένας δε πάει για την ξανθιά; Δε μπαίνει ο ένας στο δρόμο του άλλου και δεν προσβάλλετε τα άλλα κορίτσια. Αυτός είναι ο μόνος τρόπος για να κερδίσετε.» Αυτή η ιστορία, παρ’ όλο που πλάστηκε στο μυαλό των σεναριογράφων της ταινίας και όχι του ίδιου του Nash, μας διδάσκει ότι το καλύτερο σύστημα δεν είναι πάντα αυτό στο οποίο καθένας αγωνίζεται για το ατομικό συμφέρον του. Στην ουσία ο Nash/Crowe σιωπηρά συστήνει το να στοχεύσει κάποιος σε μια μελαχρινή είναι σίγουρα πιο επιτυχές και το να κατακτήσει κάποιος μια μελαχρινή είναι καλύτερο από μην κατακτήσει κανένα κορίτσι.

Επίσης γίνεται κατανοητό ότι οποιοσδήποτε πλησιάσει την ξανθιά θα την κατακτήσει εφ' όσον είναι ο μοναδικός. Τέλος, ο Nash/Crowe υποθέτει ότι εάν ξεχωριστοί τύποι πλησιάσουν την ξανθιά ταυτόχρονα, θα καταλήξουν χωρίς κανένα κορίτσι.

Δηλαδή για να κερδίσουν όλοι το σύνθημα είναι «Κανένας για την ξανθιά»; Όχι, δεν είναι ο μόνος τρόπος που όλα τα αγόρια κερδίζουν. Όλοι κερδίζουν επίσης σε οποιαδήποτε διαμόρφωση των στρατηγικών «ένας (πηγαίνει) για την ξανθιά» (και οι άλλοι για μια μελαχρινή). Επιπλέον, «ένας για την ξανθιά» είναι καλύτερη στρατηγική για την ομάδα από την πρόταση Nash/Crowe. «Καλύτερα» σημαίνει ότι καμία αλλαγή των στρατηγικών δεν θα καταστήσει κάποιον σε χειρότερη κατάσταση, για να καταστήσει κάποιον άλλο σε καλύτερη κατάσταση. Αυτή η σημαντική πρόταση είναι γνωστή ως κριτήριο του Παρέτου, από το Ιταλό οικονομολόγο Vilfredo Παρέτο (1848-1923).

Ενώ «ένας για την ξανθιά» είναι το βέλτιστο κατά Παρέτο, η διαμόρφωση Nash/Crowe δεν είναι, δεδομένου ότι καθένας θα είναι καλύτερα αν κατακτήσει την ξανθιά ενώ για τους υπόλοιπους δεν θα είναι χειρότερα. Έτσι «το καλύτερο για την ομάδα» που υπόσχονται ο Nash/Crowe προέρχεται από στρατηγικές επιλογές που διαφέρουν από την προτεινόμενη τακτική τους.

Τα πράγματα γίνονται πιο ενδιαφέροντα τώρα. Ποια είναι μια εύλογη αναμενόμενη έκβαση; Συγκρίνετε δύο κύριους υποψηφίους μας. Η στρατηγική «κανένας για την ξανθιά», στερείται δεδομένου ότι για τον καθένα θα ήταν καλύτερα με την επιλογή της ξανθιάς, υπό τον όρο ότι όλοι οι υπόλοιποι πηγαίνουν ούτως ή άλλως για μια μελαχρινή. Εντούτοις, «ένας για την ξανθιά» δεν πάσχει από αυτήν την ασυνέπεια: κανένας δεν μπορεί να βελτιωθεί με την παρέκκλιση από τη στρατηγική του. Πράγματι, είτε ο τύπος που πηγαίνει για την ξανθιά, είτε καθένας που στοχεύει σε μια μελαχρινή θα ήταν σε χειρότερη μοίρα με το να αλλάξουν τη στρατηγική τους μονομερώς.

Αυτή είναι μια λύση ισορροπίας του Nash [4], όπως προτείνεται από το Nash το 1950. Προκύπτει ως φυσική πρόβλεψη για μια κοινωνική κατάσταση, στις περιπτώσεις ότι οι φορείς καθοδηγούνται από το ενδιαφέρον τους.

Η θεωρία συστήνει ότι ένας και μόνο ένας τύπος πρέπει να πλησιάσει το ξανθό κορίτσι. Αυτό είναι αποδοτικό και από μια (κοινωνική) προοπτική του Παρέτου και από (μεμονωμένη) άποψη του Nash . Στη συνέχεια, ο Smith παίρνει το προβάδισμα δεδομένου ότι «ένας για την ξανθιά» είναι το αποδοτικό του Παρέτο (ένα καλύτερο αποτέλεσμα για την ομάδα) και μια ισορροπία του Nash (καθένας κάνει το καλύτερο για τον εαυτό του).

Μήπως είναι ο George Clooney τριγύρω;

Καλώς! Εδώ είναι η λύση Nash-Παρέτο για την ομάδα σας: ένας από τους τύπους κουβεντιάζει με την ξανθιά, οι υπόλοιποι πηγαίνετε για τις μελαχρινές. Το ξέρετε και το ξέρουν όλοι. Αυτό είναι. Τελειώσαμε; Όχι, βέβαια. Υπάρχουν τόσο πολλές πιθανές λύσεις όσες και τα αγόρια στην ομάδα σας. Έτσι, λοιπόν, ποιος είναι αυτός που θα πάει για την ξανθιά; Καλά, εδώ υπάρχει μια λύση: προσέξτε την ομάδα σας για ένα δευτερόλεπτο, είναι ο George Clooney εκεί; Σε αυτή την περίπτωση, είναι αυτός που παίρνει την ξανθιά. Γιατί; Καλά, είναι προφανές γιατί: είναι ο τύπος των γυναικών. Αυτό είναι περισσότερο βάσιμο παρόλο που δε φαίνεται από την αρχή. Η λύση «ο Clooney πηγαίνει για την ξανθιά» είναι αυτό που ο Thomas C. Schelling, τιμημένος με το βραβείο Νόμπελ του 2005 στα οικονομικά, ονόμασε σημείο εστίασης. Ένα σημείο εστίασης είναι μια ισορροπία του Nash που προκύπτει αυθόρμητα, με έναν αυτονόητο τρόπο. Καμία ερώτηση για το αυτονόητο στην υπόθεση Clooney.

Κοτόπουλα!

Μέχρι τώρα όλα καλά, εκτός από ένα πράγμα: Ο Clooney δεν τα κατάφερε και δεν είναι στο καφέ σήμερα. Έτσι, υποθέστε ότι δεν υπάρχει κανένας στην ομάδα για να διαδραματίσει το ρόλο Clooney. Επιπλέον, υποθέστε ότι δεν υπάρχει οποιαδήποτε σημαντική διαφορά μεταξύ των υποψηφίων. Δεν υπάρχει κανένας Clooney αλλά κλώνοι (ίσως κλώνοι του Clooney!). Οπότε; Έχουμε ακόμα τόσο πολλές ισορροπίες του Nash όσες και τα αγόρια, αλλά κανένα σημείο εστίασης τώρα. Και τώρα είναι η σειρά της ψυχολογίας. Όλοι συμφωνούν ότι η συμβιβαστικότερη λύση είναι «κανένας για την ξανθιά». Αλλά αυτό δεν είναι μια ισορροπία του Nash, έτσι ο καθένας μπαίνει στον πειρασμό για να αλλάξει τη στρατηγική του και να πάει τελικά για την ξανθιά. Έτσι αρχίζει το δράμα. Εάν ο καθένας μεταπηδά στην επιλογή για την ξανθιά, η τελική έκβαση είναι η χειρότερη πιθανή: κανένα κορίτσι σε κανένα. Αυτή η έκβαση του παιχνιδιού μετατρέπεται σε έκδοση του κοτόπουλου με ν-παίκτες, ένα πρωτότυπο μοντέλο για τη σύγκρουση, που χρησιμοποιήθηκε από τον Bertrand Russell (1872-1970) ως παραβολή για τον πυρηνικό γρίφο στην εποχή ψυχρού πολέμου. Το κοτόπουλο εκθέτει αισθητά την επικίνδυνη ένταση μεταξύ του μεμονωμένου συμφέροντος και της συλλογικής ευημερίας στις καταστάσεις όπου οι δυνάμεις μεταξύ των υποψηφίων είναι παρόμοιες. Ελλείψει ενός ισχυρού υποψηφίου, η μεμονωμένη φιλοδοξία μπορεί να οδηγήσει στο κοινό κακό!

Να πάει κανείς για την ξανθιά ή να μην πάει ; Ιδού η απορία

Δεν έχουμε μάθει και πολλά, μπορεί να σκεφτείτε. Δεν έχετε μια ευδιάκριτη ένδειξη στο πώς να παίξετε το παιχνίδι στο καφέ. Καλά, όχι στην πραγματικότητα. Ηχηρά επιχειρήματα συστήνουν τη διαφορετική στρατηγική για διάφορα σενάρια. Τώρα βοηθήστε τον εαυτό σας και επιλέξτε αυτό που σας ταιριάζει καλύτερα. Η θεωρία του παιχνιδιού λειτουργεί συνήθως επειδή οι άνθρωποι εκπαιδεύονται από τα κοινωνικά περιβάλλοντά τους για να συμπεριφερθούν σύμφωνα με τους κανόνες που αντιστοιχούν στα σημεία εστίασης Nash-Schelling. Ελλείψει ενός σημείου εστίασης, οι απλοί μηχανισμοί αλληλεπίδρασης όπως αυτό του κοτόπουλου καθιστούν τις κοινωνικές καταστάσεις λιγότερο προβλέψιμες. Η εμφάνιση πολλών ισορροπιών του Nash - συνεπάγεται τη δημιουργία δίλημματος και το αποτέλσμα της αλληλεπίδρασης περιλαμβάνει έναν σοβαρό κίνδυνο κοινωνικής καταστροφής. Η θεωρία παιγνίου «game theory» αφορά όλες τις κοινωνικές καταστάσεις. Δεν είναι ή άσπρο ή μαύρο. Σαν αντικείμενα της επιστημονικής έρευνας, τα ανθρώπινα όντα είναι σύνθετες πραγματικότητες. Κατά την αλληλεπίδραση με τους άλλους, η πολυπλοκότητα αναδύεται. Η πρόβλεψη της συμπεριφοράς της ομάδας μας στο καφέ μπορεί να είναι απέραντα πιο σύνθετη από το να προβλέψουμε την τροχιά ενός δορυφόρου. Για αυτό η μαθηματικοποίηση των Κοινωνικών Επιστημών πήρε τόσο πολύ και γι’ αυτό η θεωρία παιγνίων είναι τόσο επαναστατική. Σίγουρα ήδη έχετε τις ενδείξεις για να παίξετε το παιχνίδι στο καφέ ανάλογα με τα χαρακτηριστικά γνωρίσματα της ομάδας σας. Οι προτιμήσεις σας ταιριάζουν μήπως με την ανάλυση Nash/Crowe; Υπάρχει μήπως, ένας Clooney μέσα στην ομάδα σας ; Είστε όλοι όμοιοι; Στη σκηνή της ταινίας , είναι προφανές ότι η ξανθιά δεν μπορεί να πάρει τα μάτια της από τον Nash/Crowe. Έτσι, εδώ έχουμε ένα μάθημα σημείου εστίασης τελικά: σε οποιοδήποτε ταινία του Hollywood, ο καλύτερος παίρνει το κορίτσι![3]

Πηγές - Σημειώσεις:

[1]Περιοδικό Focus

[2]Το κατά Παρέτο κριτήριο είναι εκείνο κατά το οποίο, μία μεταβολή στην τιμή ή στην ποσότητα βελτιώνει τη θέση κάποιου χωρίς όμως παράλληλα να χειροτερεύει τη θέση κάποιου άλλου. Με λίγα λόγια το κατά Παρέτο κριτήριο μας βεβαιώνει ότι έχουμε βελτίωση της κοινωνικής ευημερίας στο σύνολό της αφού έχουμε την καλυτέρευση ενός ατόμου ή μιας ομάδας ατόμων χωρίς να χειροτερεύει η θέση κανενός άλλου.

Ο όρος δημιουργήθηκε από τον Ιταλό οικονομολόγο Βιλφρέντο Παρέτο και χρησιμοποιείται συστηματικά από τότε. Έτσι, οι περισσότεροι οικονομολόγοι σήμερα όταν λένε αποτελεσματικός εννοούν κατά Παρέτο.

Η Παρετιανή αποτελεσματικότητα, θεωρείται συνήθως ότι είναι μια απαραίτητη προϋπόθεση όταν μελετάμε την ευημερία που φέρνει ένας συγκεκριμένος μηχανισμός. Αυτό, γιατί προφανώς και ανεξαρτήτως ιδεολογίας, είναι καλό πρώτα να μεγιστοποιείται η πίτα, πριν καθορίσουμε πώς θα μοιραστεί. Ένας μηχανισμός που αποτυγχάνει να την μεγιστοποιήσει είναι λοιπόν υποδεέστερος ενός μηχανισμού που προσφέρει το μέγιστο αποτέλεσμα με τις δεδομένες πρώτες ύλες.

[3] plus magazine

[4] Ο Τζων Φορμπς Νας (John Forbes Nash Jr.) (γεν. 1928) είναι ένας Αμερικάνος μαθηματικός και οικονομολόγος. Τιμήθηκε το 1994 με το Νόμπελ Οικονομικών, μαζί με τους Ρ. Ζέλτεν και Τζ. Χαρσάνυι για τη συμβολή του στη θεωρία παιγνίων. Συγκεκριμένα, δημιούργησε την έννοια της ισορροπίας για παιχνίδια μη-μηδενικού αθροίσματος, ισορροπία που πήρε το όνομά του ωςισορροπία Νας. Η έννοια της ισορροπίας κατά Νας είναι πολύ σπουδαία, ιδιαιτέρως στις μέρες μας, και έχει ευρύτατες εφαρμογές σε πολλούς τομείς της ανθρώπινης δραστήριότητας, είτε σε φυσικά συστήματα, όπως η Βιολογία. Ο Νας υπέφερε από σχιζοφρένεια από τα 29 του, την οποία ξεπέρασε μετά από τριάντα χρόνια. wikipedia

[5] imdb

[6] game theory

Νίκος Λυγερός: Ο Ελληνισμός είναι προσφορά

Ο Ελληνισμός είναι προσφορά

στον χρόνο της Ανθρωπότητας

από συνειδητή επιλογή

δίχως υπολογισμό κόστους

μόνο για ν' αντέξει

το βάρος του φωτός

και το βάθος της μνήμης

για να μην παραδοθεί

μετά τις γενοκτονίες

και να κάνει χρήση

της νοητικής στρατηγικής

ενάντια στους ισχυρούς

της λήθης και της βαρβαρότητας

για να παραμείνει

απόλυτα ελεύθερη

ακόμα και πολιορκημένη

δίχως ψευδαισθήσεις

δίχως φόβους κι ελπίδες.

Υπογραφές υπέρ της θέσπισης της Ελληνικής ΑΟΖ

• Ελληνική ΑΟΖ και στρατηγική--Νίκος Λυγερός

Τα μαθηματικά της σκέψης και η σκέψη των μαθηματικών

Ο Γαλιλαίος έγραψε ότι το βιβλίο της φύσης είναι γραμμένο με μαθηματικά. Μ’ αυτό θέλει να πει ότι ήδη στις αρχές της σύγχρονης επιστήμης, και ειδικά της φυσικής, υπήρχε μια συνειδητοποίηση της έννοιας της φύσης, παρόλο που το γενικό σύστημα της επιστημονικής σκέψης ήταν πλατωνικό και αριστοτελικό. Δηλαδή κυριαρχούσε η ιδέα ότι η φύση και κατά κάποιο περίεργο τρόπο τα μαθηματικά ήταν ανεξάρτητα από τον άνθρωπο. Πιο γενικά ακόμα, τα πράγματα ήταν σαν να μην υπήρχε η αλληλεπίδραση του κόσμου με τον άνθρωπο.

Ο άνθρωπος, όμως, είναι κι αυτός ένα μέρος της φύσης, ένα από τα αποτελέσματα της μακρόχρονης εξέλιξής της. Δεν είναι ένα ανεξάρτητο αντικείμενο, είναι ένα σημαντικό υποκείμενο που έχει τις δυνατότητες παρέμβασης μέσα στον κόσμο. Η πολυπλοκότητα της εξέλιξης επέτρεψε την ύπαρξη πολλαπλών γλωσσών πάνω στη γη με τις οποίες οι άνθρωποι επικοινωνούν. Όμως, όλες οι γλώσσες είναι μία: η σκέψη του ανθρώπου. Και δεν είναι ανάγκη να γνωρίζουμε τις θεωρίες του Chomsky για να το δεχτούμε. Διότι όπως η εξέλιξη, δεν είναι μία θεωρία, είναι δεδομένο.

Κοιτάζοντας τις ανθρώπινες γλώσσες ως παραλλαγές της ίδιας σκέψης, είναι φυσικό, αν και ανατρεπτικό τελικά, να δούμε τα μαθηματικά ως κωδικοποίηση της σκέψης. Διότι κάθε φράση της φυσικής μας γλώσσας οφείλεται σε μια ιδέα και η ίδια μπορεί να κωδικοποιηθεί σε μια μαθηματική έννοια.

Η ουσία είναι μία: τα μαθηματικά είναι επίτευγμα του ανθρώπινου νου, άρα της σκέψης του. Η σκέψη μας δημιουργεί ιδέες, και αυτές μαθηματικά. Διότι βλέπουμε μόνο αυτά που καταλαβαίνουμε. Με άλλα λόγια, ακόμα κι αν θεωρήσουμε ότι ο κόσμος και ο άνθρωπος είναι ανεξάρτητα, παραμένει η ιδέα ότι η πραγματικότητά τους είναι αναγκαστικά κοινή. Άρα για τον άνθρωπο υπάρχει μόνο και μόνο αυτή, με την έννοια του Heisenberg. Σημασία έχει, λοιπόν, αυτή η πραγματικότητα. Και τα μαθηματικά, με τις αφηρημένες τους έννοιες, δημιουργούν την πραγματικότητα. Τα μαθηματικά είναι η κωδικοποιημένη σκέψη μας, και η σκέψη μας οι ιδέες των μαθηματικών.

Με την προηγούμενη ιδέα, μπορούμε να ερμηνεύσουμε απλά την ικανότητα των μαθηματικών να δημιουργήσουν μοντέλα των οποίων οι εφαρμογές είναι τόσο αποτελεσματικές στην επιστήμη και γενικότερα στη ζωή. Η αφιέρωση του χρόνου, στην ουσία, επιτρέπει την ύπαρξη μιας ολιστικής αντίληψης του κόσμου και μ’ αυτήν η ερμηνεία του κόσμου είναι μία διαφοροποίηση ενοποιημένων εννοιών. Η ύλη των μαθηματικών είναι η ενέργεια της σκέψης και η ύλη της σκέψης είναι η πραγματοποίηση των μαθηματικών.

Άρα, το επόμενο στάδιο αυτής της αλληλεπίδρασης είναι η κατανόηση της πολυπλοκότητας. Και ειδικότερα, πώς η εξέλιξη πολλαπλών απλών κανόνων έχει τη δυνατότητα να δημιουργήσει με την πολυπλοκότητά της μια παραγωγική δομή. Διότι καταλαβαίνοντας αυτό το φαινόμενο, θα καταλάβουμε και την ίδια μας τη λειτουργία. Διότι με αυτές τις σκέψεις δημιουργούμε με την πολυπλοκότητα τη συνείδησή μας. Το βιβλίο της σκέψης είναι γραμμένο με τα μαθηματικά της σκέψης μας.

Θεμελιώδεις έννοιες Νευροεπιστημών. Λειτουργία εγκεφάλου

Αυτή τη στιγμή ο εγκέφαλος και το νευρικό σας σύστημα είναι απασχολημένα με την κατανόηση αυτής της πρότασης. Μόλις διαβάσατε ένα παράδειγμα σχετικά με το βασικό ρόλο του εγκεφάλου σε κάθε λειτουργία που λαμβάνει χώρα όταν είμαστε ξύπνιοι, αλλά και όταν κοιμόμαστε. Αν βλέπετε, τα νευρικά κύτταρα των ματιών σας αισθάνονται τα όρια των γραμμάτων και μεταφέρουν την πληροφορία από τα μάτια στον εγκέφαλο (για τους τυφλούς που διαβάζουν με τη μέθοδο Μπράιγ τα νευρικά κύτταρα των δαχτύλων στέλνουν παρόμοιες πληροφορίες από το δέρμα στον εγκέφαλο μέσω του νωτιαίου μυελού). Περίπου το ένα τέταρτο του εγκεφάλου εμπλέκεται στη διεργασία της όρασης, περισσότερο από ότι σε οποιαδήποτε άλλη αίσθηση. Γι’ αυτό και η ακριβής διεργασία της ανάγνωσης, όπως και πολλές άλλες εγκεφαλικές λειτουργίες, αποτελεί πεδίο εκτεταμένης έρευνας από τους νευροεπιστήμονες.

Σε βασικό επίπεδο, το διάβασμα, όπως συμβαίνει και με άλλες λειτουργίες του εγκεφάλου και του νευρικού συστήματος, συμπεριλαμβάνει μια σειρά ηλεκτρικών ώσεων που μεταδίδονται μέσω ενός κυκλώματος νευρικών κυττάρων που ονομάζονται νευρώνες.

Ο βασικός στόχος των Νευροεπιστημών είναι να κατανοήσουν πώς οι διάφορες ομάδες νευρώνων αλληλεπιδρούν μεταξύ τους για την εκδήλωση της συμπεριφοράς. Οι νευροεπιστήμονες μελετούν τη δράση μορίων, γονιδίων και κυττάρων και διερευνούν τις περίπλοκες διεργασίες που εμπλέκονται στις διάφορες σωματικές λειτουργίες, στη λήψη αποφάσεων, στο συναίσθημα, στη μάθηση και σε πολλά άλλα. Επίσης, προσπαθούν να κατανοήσουν τις ασθένειες και τις διαταραχές που εμφανίζονται όταν οι παραπάνω διεργασίες είναι ελλιπείς ή λανθασμένες.

Ο βασικός δομικός λίθος του νευρικού συστήματος είναι το μεμονωμένο νευρικό κύτταρο ή αλλιώς νευρώνας. Οι νευρώνες επικοινωνούν μεταξύ τους με συνδέσεις, οι οποίες ονομάζονται συνάψεις και στέλνουν ή λαμβάνουν μικρά «πακέτα» χημικών ή ηλεκτρικών σημάτων.

Η γνώση για το ανθρώπινο νευρικό σύστημα βασίζεται εν μέρει στις συνεχείς ανακαλύψεις που γίνονται από τη μελέτη ζώων (π.χ. σκουλήκια, μύγες, ψάρια, βατράχια, ποντίκια και πρωτεύοντα) και υποβοηθούνται από προσομοιώσεις σε ηλεκτρονικούς υπολογιστές.

.

Το Νευρικό Σύστημα ελέγχει και αντιδρά στις σωματικές λειτουργίες και διαμορφώνει τη συμπεριφορά.

Ο εγκέφαλος είναι το πιο πολύπλοκο όργανο του σώματος.

Α. Υπάρχουν δισεκατομμύρια νευρώνες στον ανθρώπινο εγκέφαλο και όλοι βρίσκονται σε λειτουργία.

Β. Κάθε νευρώνας επικοινωνεί με άλλους νευρώνες, έτσι ώστε να δημιουργήσει κυκλώματα και να μεταδίδει πληροφορίες.

Γ. Η φυσιολογική λειτουργία του νευρικού συστήματος προϋποθέτει τη συντονισμένη δραστηριότητα νευρώνων σε διαφορετικές περιοχές του εγκεφάλου.

∆. Το νευρικό σύστημα επηρεάζει και επηρεάζεται από όλα τα άλλα συστήματα του σώματος (π.χ. καρδιαγγειακό, ενδοκρινικό, γαστρεντερικό και ανοσοποιητικό σύστημα).

Ε. Αυτό το περίπλοκο σύστημα μπορεί να εμφανίσει πολλαπλές δυσλειτουργίες με αποτέλεσμα την εμφάνιση διαταραχών που έχουν σοβαρές κοινωνικές και οικονομικές επιπτώσεις.

Οι νευρώνες επικοινωνούν μέσω ηλεκτρικών και χημικών σημάτων.

Α. Τα αισθητικά ερεθίσματα μετατρέπονται σε ηλεκτρικά σήματα.

Β. Τα δυναμικά ενεργείας είναι ηλεκτρικά σήματα που μεταδίδονται κατά μήκος των νευρώνων.

Γ. Οι συνάψεις είναι χημικές ή ηλεκτρικές συνδέσεις που επιτρέπουν στα ηλεκτρικά σήματα να μεταδίδονται από τους νευρώνες σε άλλα κύτταρα.

∆. Τα ηλεκτρικά σήματα στους μυς προκαλούν σύσπαση και κίνηση.

Ε. Μεταβολές στη δραστηριότητα μιας σύναψης μπορεί να αυξήσει ή να μειώσει τη λειτουργικότητά της.

Ζ. Η επικοινωνία μεταξύ των νευρώνων ενισχύεται ή αποδυναμώνεται από ορισμένες δραστηριότητες του ατόμου, όπως είναι η σωματική άσκηση, το στρες και η χρήση φαρμακευτικών ουσιών.

ΣΤ. Όλες οι αντιλήψεις, οι σκέψεις και οι συμπεριφορές είναι αποτέλεσμα συνδυασμού σημάτων μεταξύ των νευρώνων.

Η δομή και η λειτουργία του νευρικού συστήματος καθορίζονται από τα γονίδια και την επίδραση του περιβάλλοντος κατά τη διάρκεια της ζωής μας.

Τα γενετικά προκαθορισμένα κυκλώματα αποτελούν τα θεμέλια του εγκεφάλου.

Α. Τα νευρικά κυκλώματα δημιουργούνται από γενετικά προκαθορισμένα σχέδια κατά την εμβρυϊκή ανάπτυξη και μεταβάλλονται μέσω αλληλεπιδράσεων με το εσωτερικό και το εξωτερικό περιβάλλον.


Β. Τα αισθητικά κυκλώματα (όραση, αφή, ακοή, οσμή και γεύση) στέλνουν πληροφορίες στο νευρικό σύστημα, ενώ τα κινητικά κυκλώματα στέλνουν πληροφορίες στους μυς και τους αδένες.

Γ. Τα αντανακλαστικά αποτελούν τα απλούστερα συστήματα, κατά τα οποία ένα αισθητικό ερέθισμα προκαλεί μία άμεση κινητική αντίδραση.

Δ. Περίπλοκες αντιδράσεις λαμβάνουν χώρα όταν ο εγκέφαλος συνδέει πληροφορίες από πολλά εγκεφαλικά κυκλώματα, έτσι ώστε να παράγει μια αντίδραση.

Ε. Απλές και περίπλοκες αλληλεπιδράσεις μεταξύ των νευρώνων λαμβάνουν χώρα σε χρονικά διαστήματα εύρους από χιλιοστά του δευτερολέπτου έως μήνες.

ΣΤ. Ο εγκέφαλος είναι έτσι δομημένος, ώστε να αναγνωρίζει αισθητικά ερεθίσματα, να προκαλεί συμπεριφορές, καθώς και να αποθηκεύει και να ανακαλεί μνήμες που διαρκούν καθ’ όλη τη διάρκεια της ζωής

Οι εμπειρίες της ζωής μεταβάλουν το νευρικό σύστημα.

Α. ∆ιαφορές στα γονίδια και στο περιβάλλον καθιστούν τον εγκέφαλο του κάθε ζώου μοναδικό.

Β. Οι περισσότεροι νευρώνες δημιουργούνται νωρίς κατά την ανάπτυξη του εμβρύου και επιβιώνουν καθ’ όλη τη διάρκεια της ζωής.

Γ. Ορισμένοι τραυματισμοί προκαλούν μόνιμες βλάβες σε νευρικά κύτταρα, αλλά δεν είναι σπάνιο ο εγκέφαλος να ανακάμπτει από τη βλάβη που προκαλούν το στρες και ορισμένες ασθένειες.

∆. Η συνεχής σωματική και πνευματική άσκηση διατηρεί τον εγκέφαλο σε εγρήγορση και συμβάλλει στη διατήρηση της δομής και της λειτουργίας του – «χρησιμοποίησε τον εγκέφαλό σου για να μην τον χάσεις» (use it or lose it).

Ε. Τα περιφερικά νεύρα έχουν μεγαλύτερη ικανότητα να αναγεννιούνται μετά από βλάβη, σε σχέση με τους νευρώνες του εγκεφάλου και του νωτιαίου μυελού.

ΣΤ. Ο θάνατος νευρικών κυττάρων είναι μια φυσική διαδικασία που αποτελεί μέρος της ανάπτυξης και της γήρανσης.

Ζ. Μερικοί νευρώνες συνεχίζουν να αναγεννιούνται κατά τη διάρκεια της ζωής και η δημιουργία τους εξαρτάται από τις ορμόνες και τις εμπειρίες.

Ο εγκέφαλος είναι το θεμέλιο του νου

Η ευφυΐα απορρέει όταν ο εγκέφαλος σκέφτεται, σχεδιάζει και επιλύει προβλήματα.

Α. Ο εγκέφαλος κατανοεί τον κόσμο χρησιμοποιώντας όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες, όπως είναι οι αισθήσεις, τα συναισθήματα, τα ένστικτα και οι αποθηκευμένες στη μνήμη εμπειρίες.

Β. Τα συναισθήματα βασίζονται στην «κρίση» του εγκεφάλου και εκφράζονται ως βασικά αισθήματα, όπως η αγάπη και ο θυμός, αλλά και ως περίπλοκα αισθήματα, όπως η συμπόνια και το μίσος.

Γ. Ο εγκέφαλος μαθαίνει από τις εμπειρίες μας και προβλέπει τις βέλτιστες πράξεις, που αποτελούν την απάντηση σε παρούσες και μελλοντικές προκλήσεις.

∆. Η συνείδηση εξαρτάται από τη φυσιολογική λειτουργία του εγκεφάλου.

Χάρη στον εγκέφαλο η γνώση μεταδίδεται μέσω της γλώσσας.

Α. Η ικανότητα της γλώσσας αποκτάται νωρίς κατά την ανάπτυξη και διευκολύνει την ανταλλαγή

πληροφοριών και τη δημιουργική σκέψη.

Β. Η επικοινωνία μεταξύ των ανθρώπων μπορεί να επιλύσει, αλλά και να δημιουργήσει πολλά από τα πιο πιεστικά προβλήματα που αντιμετωπίζει η ανθρωπότητα.

Η έρευνα οδηγεί σε ανακαλύψεις απαραίτητες για την ανάπτυξη νέων θεραπειών για τις διαταραχές του νευρικού συστήματος.

Η φύση, μέσω του ανθρώπινου εγκεφάλου, μας προικίζει με φυσική περιέργεια για την κατανόηση της λειτουργίας του κόσμου.

Α. Το νευρικό σύστημα μπορεί να μελετηθεί σε πολλά επίπεδα, από πολύπλοκες συμπεριφορές, όπως ο λόγος και η μάθηση, μέχρι αλληλεπιδράσεις μεταξύ μεμονωμένων μορίων.

Β. Εν τέλει, η έρευνα μπορεί να μας διαφωτίσει για θέματα όπως ο νους, η εξυπνάδα, η φαντασία και η συνείδηση.

Γ. Η περιέργεια μας οδηγεί σε απροσδόκητες και καταπληκτικές ανακαλύψεις που ωφελούν την ανθρωπότητα.

Καίριες ανακαλύψεις προάγουν την υγεία και τη θεραπεία ασθενειών.

Α. Τα πειράματα σε ζώα παίζουν καίριο ρόλο στην κατανόηση του ανθρώπινου εγκεφάλου και συμβάλουν στην επιλογή υγιεινών τρόπων ζωής, στην αντιμετώπιση ασθενειών και στην εύρεση θεραπειών για διάφορες ασθένειες.

Β. Η έρευνα σε ανθρώπους είναι το τελικό απαραίτητο στάδιο πριν την έγκριση νέων θεραπειών για την πρόληψη ή τη θεραπεία ασθενειών.

Γ. Η έρευνα στις Νευροεπιστήμες έχει θέσει τις βάσεις για τη θεραπεία μεγάλου αριθμού νευρολογικών και ψυχικών διαταραχών.

Ημισφαιρικές Αλήθειες. Αριστερό και δεξί ημισφαίριο

Την τελευταία δεκαετία έχει δοθεί μεγάλη προσοχή στη λειτουργία των εγκεφαλικών ημισφαιρίων και τις επιπτώσεις που έχει αυτή η λειτουργία για τη διαδικασία της διδακτικής-μάθησης (Fisher, 1995• McCarthy, 1990• Sonnier, 1992). Το ενδιαφέρον αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι τα παραδοσιακά διδακτικά μοντέλα έχουν στηριχθεί στη λειτουργία του αριστερού ημισφαιρίου, μέσω της ανάπτυξης της γλώσσας και της λογικής, χωρίς να ληφθούν υπόψη χαρακτηριστικά του δεξιού ημισφαιρίου, όπως η διαίσθηση, ο αυθορμητισμός, η φαντασία (Martin & Brouwer, 1993• McCarthy, 1990• Stefanich, 1998).

Παρ' όλο που ο γνωστός Γάλλος μαθηματικός Poincare (1908/1952) είχε υποστηρίξει ότι "η λογική αποδεικνύει αλλά η διαί­σθηση δημιουργεί" και παρ' όλο που ο Polanyi (1958) μίλησε για μια διανοητική ομορφιά και ένα πάθος στη διαδικασία της γνώ­σης, μόνο πρόσφατα άρχισε να αναγνωρίζεται ο ρόλος της φαντασίας και γενικά άλλων στοιχείων, που δεν έχουν να κάνουν με τη λογική ανάλυση και τη συγκλίνουσα σκέψη, στο πλαίσιο της σχολικής τάξης (Eisner, 1985, 1996). Ωστόσο, είναι αξιοσημείωτο το γεγονός ότι οι διάφορες έρευνες πάνω στην αποτελεσματική διδασκαλία δεν αναφέ­ ρουν πουθενά το ρόλο της φαντασίας (Porter & Brophy, 1988).

Μιλώντας για το αριστερό και το δεξί ημισφαίριο, πρέπει να αναφερθει, ότι η ασυμμετρία τους έχει ερευνηθεί αρκετά, και υπάρχουν στοιχεία που δείχνουν τις λειτουργίες ικανότητες κάθε ημισφαιρίου (Hellidge, 1993). Ωστόσο, είναι σημαντικό να μην τονίσουμε υπερβολικά αυτή την ασυμμετρία ή διαφορά, μια και ο εγκέφαλος είναι τόσο πολύπλοκο όργανο που δεν θα μπορούσε να περιγραφεί απλά ως δύο ξεχωριστές περιοχές, δηλαδή το δεξί και το αριστερό ημισφαίριο. Τη δεκαετία του '80 νέα ερευνητικά δεδομένα έδειξαν ότι η διαίρεση ανά­μεσα στα δύο ημισφαίρια δεν είναι και τόσο σαφής, και ότι στη διαδι­κασία της σκέψης εμπλέκονται ταυτόχρονα και τα δύο ημισφαίρια (Ornstein, 1986). Ο Levy (1985), ξεκαθαρίζοντας τα γεγονότα από τους μύθους σχετικά με την εγκεφαλική λειτουργία, αναφέρει έξι κυ­ρίως "αλήθειες" για τα δύο ημισφαίρια:

• Τα δύο ημισφαίρια είναι τόσο όμοια, ώστε όταν χωριστούν με χειρουργική επέμβαση, κάθε ένα μπορεί να λειτουργήσει απί­στευτα καλά αν και όχι τέλεια.

• Κάθε ημισφαίριο έχει ειδικές ικανότητες λειτουργίες.

• Η λογική δεν περιορίζεται μόνο στο αριστερό ημισφαίριο.

• Δεν υπάρχουν στοιχεία που δείχνουν ότι η δημιουργικότητα εί­ναι αποκλειστικό χαρακτηριστικό του δεξιού ημισφαιρίου.

• Εφ' όσον τα δύο ημισφαίρια δεν λειτουργούν ανεξάρτητα το ένα από το άλλο, είναι σχεδόν αδύνατο να εκπαιδεύσεις ξεχω­ριστά ένα ημισφαίριο κάθε φορά.

• Υπάρχουν ψυχολογικά και φυσιολογικά δεδομένα που δεί­χνουν ότι οι άνθρωποι διαφέρουν στη σχετική δραστηριοποίηση των δύο ημισφαιρίων.

Οι Caine και Caine (1990, 1991), κάνοντας μια επισκόπηση των ερευνών που αφορούν την εγκεφαλική λειτουργία και τη μάθηση, ανα­φέρουν τις εξής αρχές:

1. Ο εγκέφαλος είναι ένας "παράλληλος επεξεργαστής" πληρο­φοριών. Αυτό σημαίνει ότι ο εγκέφαλος επιτελεί ταυτόχρονα πολλές λειτουργίες (π.χ., λογική σκέψη, φαντασία, διαίσθηση).

2. Στη διαδικασία της μάθησης εμπλέκεται όλη η φυσιολογία.

Επομένως οτιδήποτε επηρεάζει τη φυσιολογία του σώματος επηρεάζει και την ικανότητά μας να μάθουμε (π.χ., διατροφή, stress, άσκηση).

3. Η αναζήτηση του νοήματος είναι διαδικασία έμφυτη.

4. Τα συναισθήματα παίζουν καθοριστικό ρόλο σ' αυτή τη διαδι­κασία.

5. Ο εγκέφαλος αντιλαμβάνεται και δημιουργεί ταυτόχρονα μέρη και σύνολα.

6. Στη διαδικασία της μάθησης εμπλέκονται ταυτόχρονα εστίαση της προσοχής και περιφερειακή αντίληψη.

7. Στη μάθηση εμπλέκονται πάντοτε συνειδητές και ασυνείδητες διαδικασίες.

8. Ο εγκέφαλος κατανοεί και θυμάται καλύτερα όταν οι γνώσεις και οι δεξιότητες αποκτούνται μέσω εμπειρικής μάθησης.

Χαρακτηριστικά Αριστερού Ημισφαιρίου

• Αναλύει δεδομένα

• Χρησιμοποιεί τη λογική στην επεξεργασία πληροφοριών

• Έχει συνείδηση του χρόνου: Παρελθόν, παρόν και μέλλον

• Οργανώνει τα γεγονότα και τις δράσεις με μια αλληλουχία

• Οργανώνει τις πληροφορίες

• Ασχολείται με γεγονότα και αντικείμενα με τρόπο συστηματικό

• Ανάγει το όλο σε μέρη και συνθέτει τα μέρη σε όλο

• Χρησιμοποιεί τη γλώσσα για νοηματική επικοινωνία

• Χρησιμοποιεί μαθηματικούς υπολογισμούς

• Χρησιμοποιεί γεγονότα

Χαρακτηριστικά Αριστερού Ημισφαιρίου

• Αναλύει δεδομένα

• Χρησιμοποιεί τη λογική στην επεξεργασία πληροφοριών

• Έχει συνείδηση του χρόνου: Παρελθόν, παρόν και μέλλον

• Οργανώνει τα γεγονότα και τις δράσεις με μια αλληλουχία

• Οργανώνει τις πληροφορίες

• Ασχολείται με γεγονότα και αντικείμενα με τρόπο συστηματικό

• Ανάγει το όλο σε μέρη και συνθέτει τα μέρη σε όλο

• Χρησιμοποιεί τη γλώσσα για νοηματική επικοινωνία

• Χρησιμοποιεί μαθηματικούς υπολογισμούς

• Χρησιμοποιεί γεγονότα

Χαρακτηριστικά Δεξιού Ημισφαιρίου

• Ανταποκρίνεται στα δεδομένα με τη διαίσθηση

• Χειρίζεται τις πληροφορίες αυθόρμητα

• Αντιλαμβάνεται τις πληροφορίες χωρίς να λάβει υπόψη το χρόνο

• Οργανώνει τα γεγονότα και δράσεις χωρίς αλληλουχία

• Διαχέει τις πληροφορίες

• Ασχολείται με γεγονότα και αντικείμενα σύμφωνα με τις ανάγκες της στιγμής

• Βλέπει μόνο ολιστικά πληροφορίες και αντικείμενα

• Ανταποκρίνεται σε ήχους

• Αντιλαμβάνεται σχήματα και μορφές, και υπολογίζει διαισθητικά

• Χρησιμοποιεί εικόνες, μεταφορές

Η μεγαλύτερη πρόκληση την οποία προσφέρουν οι έρευνες που αφορούν την εγκεφαλική λειτουργία δεν φαίνεται να είναι η κατανόη­ση της ανατομίας και της πολύπλοκης φυσιολογίας του εγκεφάλου αλλά η συνειδητοποίηση των δυνατοτήτων του.

Οι ανάγκες του μαθητή και ο ρόλος του δασκάλου

Δεν υπάρχει αμφιβολία ότι ένα από τα μεγαλύτερα προβλήματα, ίσως και το μεγαλύτερο, στην παιδαγωγική είναι το πώς να παρακινηθεί ένας μαθητής για να μάθει. Πολλοί παιδαγωγοί και ψυχολόγοι έχουν μιλήσει για την περιέργεια των παιδιών και για την έμφυτη ικα­νότητά τους για μάθηση (Bloom, 1982α, 1982β. Bruner, 1966. Ellis, 1989). Όμως, το αναμφισβήτητο γεγονός, ό ως πραγματικά το ζει και το ξέρει ένας εκπαιδευτικός σε οποιαδήποτε βαθμίδα της εκπαίδευ­σης, είναι ότι οι μαθητές, στη συντριπτική τους πλειοψηφία, δείχνουν να μην αγαπάνε και να μην έχουν την περιέργεια για μάθηση. Το φάρμακο, επομένως, ενάντια σ' αυτή την "μαθησιακή ανορεξία" κα­λείται να δώσει ο δάσκαλος, κυρίως μέσα στην τάξη. Με αυτό το σκε­πτικό ο δάσκαλος σκέφτεται τρόπους με τους οποίους θα μπορούσε να παρακινήσει τους μαθητές του. Εδώ όμως παρουσιάζεται το μεγά­λο πρόβλημα: Ποιος τρόπος είναι ο καλύτερος για να παρακινηθεί ένας μαθητής στη μάθηση; Πώς μπορεί να ξέρει ο δάσκαλος τι παρα­κινεί ένα μαθητή; Μήπως ο τρόπος που θα επιλέξει ο δάσκαλος δεν παρακινεί καθόλου το μαθητή; Αυτές οι τρεις ερωτήσεις, που στην ου­ σία αποτελούν την βάση του όλου προβλήματος, ακολουθούνται φυσικά από έναν αριθμό ερωτήσεων που μπορούν να δείξουν, ότι η προ­σπάθεια από την μεριά ενός δασκάλου, καλοπροαίρετου ή μη, ίσως να δημιουργήσει πρόσθετα προβλήματα: Μήπως κάθε μαθητής παρακι­νείται με διαφορετικό τρόπο; Μήπως τα κίνητρα ποικίλουν ανάλογα με το μαθητή που θα διδαχθεί; Πόσο ρεαλιστικό είναι για ένα δάσκα­ λο να σκέφτεται σε καθημερινή βάση τόσους τρόπους όσοι και οι μα­θητές της τάξης του, πολλαπλασιασμένους, ίσως με τον αριθμό μαθη­μάτων της ανάλογης μέρας; Μήπως τα κίνητρα σε τελευταία ανάλυ­ση είναι αποτέλεσμα πολλαπλών παραγόντων που δεν περιορίζονται αναγκαστικά στην έμφυτη ικανότητα του μαθητή και στο τι μπορεί να κάνει ο δάσκαλος μέσα στην τάξη; 

Αν καθίσει κάποιος και σκεφτεί τι μπορεί να παρακινήσει ένα μαθητή στη μάθηση, θα καταλάβει σύντομα ότι μια λίστα από αλληλοεξαρτημένους παράγοντες θα έπρεπε να ληφθεί υπόψη. Αυτή η λίστα, κατά την προσωπική εκίμηση του συγγραφέα, περιλαμβάνει τους ακόλουθους παράγοντες: τις ανάγκες του μαθητή, τα ενδιαφέροντά του, ", τον ενθουσιασμό του δασκάλου, το οικογενειακό περιβάλλον, τις αξίες και τις αντιλήψεις του μαθητή για τη μόρφωση και το σχολείο, τη ψυ­χολογική κατάσταση του μαθητή, το "μαθησιακό του στιλ", το περι­βάλλον της σχολικής τάξης, αλλά και το γενικότερο σχολικό κλίμα, τις προσδοκίες του δασκάλου, τις προσδοκίες του μαθητή, την επιβράβευση και την επιτυχία του μαθητή, το περιεχόμενο της διδακτέας ύλης, τα μέσα και τις μεθόδους διδασκαλίας. Είναι εύλογο ότι μερικοί, ίσως και όλοι, οι παράγοντες συμβάλλουν στην παρακίνηση του μαθητή. Αυτό μπορεί να δώσει μια ικανοποιητική εξήγηση, γιατί η παρακίνηση του μαθητή να μάθει, παραμένει πάντα ένα δύσκολο αν όχι άλυτο, πρό­βλημα. Είναι πολύ λογικό, και απολύτως φυσικό το γεγονός, ότι ένας μαθητής παραμένει ασυγκίνητος, παρά τον ενθουσιασμό, παρά τις έξυ­ πνες ερωτήσεις του δασκάλου, και παρά τα σ'\Jγχρονα εποπτικά μέσα και εντυπωσιακά πειράματα επίδειξης, όταν βρίσκεται σε άσχημη ψυ­χολογική κατάσταση ή όταν το οικογενειακό περιβάλλον δεν βοηθά ή δεν έχει καμιά σχέση με αυτό του σχολείου. Είναι επίσης λογικό ότι, παρά τις προσπάθειες που θα κάνει ένας δάσκαλος για να παρακινήσει τους μαθητές του, οι προσδοκίες των τελευταίων θα παίξουν σημαντικό ρόλο, όχι απλά στο τι θα μάθουν, αλλά στο αν θα μάθουν.

Από τη σύντομη αυτή συζήτηση διαφαίνεται, ότι η επίλυση του προβλήματος των κινήτρων είναι δύσκολη. Αυτό όμως, δεν απαλλάσ­σει τον εκπαιδευτικό από την ευθύνη που έχει να προσπαθήσει να "σπρώξει όλα τα κουμπιά" του μαθητή. Το πρώτο "κουμπί" φαίνεται να είναι η ικανοποίηση των αναγκών του μαθητή.

1. Η συμβολή του Maslow

Η έννοια της "ανάγκης" είναι ίσως και η πιο συχνά απαντώμενη σ' ό,τι έχει σχέση με τα κίνητρα. Και αυτό γιατί, σαν έννοια κεντρική της ψυχολογίας, έχει χρησιμοποιηθεί για να εξηγήσει την ανθρώπινη συ­ μπεριφορά. Ως "ανάγκη" θα μπορούσε να οριστεί μια κατάσταση έλλειψης που δημιουργειται μέσα σ' ένα οργανισμό. Αυτή η κατάσταση μπορει να ειναι φυσιολογική ή ψυχολογική, και παρακινει το άτομο να κάνει κάτι για να ικανοποιήσει αυτή την ανάγκη. Η ανάγκη για τροφή, για παράδειγμα, η οποία προέρχεται από μια κατάσταση έλλειψη  μέσα στον οργανισμό, θα παρακινήσει το πεινασμένο άτομο να βρει τροφή. Ανεξάρτητα από το αν το ψάξιμο για την τροφή είναι εύκολο ή δύσκολο, το άτομο θα προσπαθήσει να βρει τρόπους ώστε να ικανοποιήσει την ανάγκη του.

Όσοι έχουν ασχοληθεί με την ψυχολογία και την παιδαγωγική γνω­ρίζουν την ιεραρχία των αναγκών του Maslow (1954). Ο Abraham Maslow στο κλασικό βιβλίο του Κίνητρα και Προσωπικότητα, αναλύει τις ανάγκες του ανθρώπου. Θεωρεί ότι πρ9!τα έρχονται οι φυσιολο­γικές ανάγκες (π.χ., τροφή, ύπνος, sex, κλπ.) ακολουθούμενες από τις ανάγκες για ασφάλεια (π.χ., προστασία, αποφυγή φόβου, επιδίωξη άνε­σης). Στη συνέχεια έρχονται οι κοινωνικές ανάγκες (π.χ., να ανήκει το άτομο σε ομάδα, να αγαπιέται) και μετά η ανάγκη για σεβασμό και εκτίμηση, δηλαδή η ανάγκη του Εγώ. Στο τέλος της ιεαρχίας, δηλαδή στην κορυφή της, υπάρχει η ανάγκη για αυτοπραγμάτωση (σχ. 16). Ο Maslow ορίζει ως αυτοπραγμάτωση μια κατάσταση στην οποία το

άτομο έχει φθάσει το μέγιστο δυναμικό του, με άλλα λόγια το άτομο έχει γίνει αυτό που του ταιριάζει. Σύμφωνα με τον Maslow, μόνον 'ταν έχουν ικανοποιηθεί οι ανάγκες στα κατώτερα επίπεδα μπορεί το άτομο να προχωρήσει προς τα ανώτερα επίπεδα της ιεαρχίας. Είναι επο­μένως λογικό ότι θα ήταν άσκοπο να μιλάμε για αυτοπραγμάτωση όταν δεν έχουν ικανοποιηθεί οι προηγούμενες ανάγκες.

Με αυτό το σκεπτικό, παιδαγωγοί και ψυχολόγοι χρησιμοποιούν την έννοια "ανάγκη" για να προσεγγίσουν ή να επιλύσουν το πρό­βλημα των κινήτρων (Faπis, 1990• Gιasser, 1986• Schurr, 1989). Ακό­μη και κατασκευαστές αναλυτικών προγραμμάτων χρησιμοποιούν την έννοια αυτή. Όπως τονίζουν οι Oιiνia (1988) και Pratt (1980), το καλύτερο, ή ένα από τα καλύτερα μοντέλα, για την κατασκευή ανα­λυτικών προγραμμάτων είναι αυτό στο οποίο λαμβάνονται υπόψη, ανάμεσα σε άλλα, και οι ανάγκες του μαθητή. Ο λόγος, προφανώς, που χρησιμοποιείται η έννοια "ανάγκη" από τους κατασκευαστές αναλυτικών προγραμμάτων είναι, ότι τα διδακτικά μοντέλα που στη­ρίζονται στις ανάγκες των μαθητών έχουν περισσότερες πιθανότητες να παρακινήσουν τους τελευταίους στη μάθηση.

Αν σκεφτεί, ωστόσο, κάποιος τη σχέση των αναγκών ενός μαθητή ως προς την μάθηση, αρκετά προβλήματα αρχίζουν να εμφανίζονται. Πώς μπορεί να σχετιστεί η ανάγκη με την μάθηση; Πώς μπορεί η ανά­ γκη ενός μαθητή να οδηγήσει στη μάθηση; Πώς μπορούν δηλαδή, η ανάγκη που αισθάνεται ένας μαθητής για να ανήκει σε μία ομάδα και να αγαπιέται, η ανάγκη για aυτοσεβασμό και η ανάγκη για αυτο­ πραγμάτωση να οδηγήσουν ένα μαθητή στην απόκτηση της γνώσης; Από πείρας είναι γνωστό, ότι για την πλειοψηφία των μαθητών, οι πα­ ραπάνω ανάγκες δεν σχετίζονται με τη γνώση, μια και η άγνοια και η αμάθεια δεν αποτελούν αναγκαστικά κίνητρα για μάθηση. Επιπλέον είναι πολύ πιθανόν ότι ο μαθητής δεν αισθάνεται τις ανάγκες του. Βέβαια τις φυσιολογικές ανάγκες και την ανάγκη για ασφάλεια και άνε­ ση την αισθάνονται όλοι οι άνθρωποι αν και αυτό θα μπορούσε να αμφισβητηθεί, εφόσον είναι γνωστό ότι πολλοί άνθρωποι πάσχουν από διάφορες ανεπάρκειες, λόγω έλλειψης στο σώμα τους ορισμένων ιχνοστοιχείων και βιταμινών και μόνο ο γιατρός είναι αυτός που τις ανιχνεύει.

Όμως μπορούν να αισθανθούν οι μαθητές την ανάγκη για την αυτοπραγμάτωσή τους; Έστω κι αν υποτεθεί ότι ο δάσκαλος αποφασί­ζει να πείσει τους μαθητές ότι έχουν αυτή την συγκεκριμένη ανάγκη, είναι σίγουρο ότι οι μαθητές θα παρακινηθούν; Είναι σίγουρο, ότι η ανάγκη για αυτοπραγμάτωση θα παρακινήσει τους μαθητές να μά­θουν μαθηματικά, μερικές χρονολογίες από την Ιστορία και την Γεω­γραφία των ηπείρων; Ο δάσκαλος μπορεί να προσπαθήσει να πείσει τους μαθητές του ότι τους χρειάζονται τα Μαθηματικά ή τα Αρχαία, αλλά είναι πολύ πιθανόν οι τελευταίοι να μην θέλουν να τα μάθουν, και σε μερικές ακραίες περιπτώσεις ούτε να τα δουν! Πώς μπορούν επομένως να μας βοηθήσουν οι ανάγκες του μαθητή για την παρακί­νησή του;

Αν κάποιος ξαναγυρίσει στην ιεραρχία των αναγκών του Maslow, ίσως σκεφτεί ότι τα σχολεία, αν έχουν σκοπό να ικανοποιήσουν την ανάγκη για αυτοπραγμάτωση, πρέπει να βοηθήσουν τους μαθητές να ικανοποιήσουν όλες τις προηγούμενες ανάγκες της ιεαρχίας. Φυσικά οι φυσιολογικές ανάγκες και οι ανάγκες για ασφάλεια υποτίθεται ότι ικανοποιούνται κυρίως εκτός σχολείου. Μπορεί όμως στην ανάγκη για αυτοεκτίμηση και αυτοσεβασμό να δοθεί περισσότερο σημασία. Η αναγνώριση και η εκτίμηση ενός μαθητή θα μπορούσε να γίνει, να τονιστεί, σε προσωπικό επίπεδο. Η επιβράβευση μιας προσπάθειας εί­ναι πολύ πιθανότερο να δημιουργήσει αυτοεκτίμηση αν απευθύνεται προσωπικά. Πόσο διαφορά κάνει σε ένα μαθητή ένα "Μπράβο Ελέ­νη έκανες μια ωραία ερώτηση" ή "Κώστα πολύ σωστά παρατήρησες" από ένα ξερό "Μπράβο" ή "Ωραίο"; Φαίνεται εύκολα στην έκφραση του προσώπου του και στη συνέχεια στον τρόπο που εργάζεται στο σπίτι και στο σχολείο. Έχουμε σκεφθεί ποτέ μας ποια διαφορά υπάρ­χει ανάμεσα στο να πιάνουμε ένα μαθητή που έχει κάνει ή πει κάτι κα­λό και του το αναγνωρίσουμε δημόσια από το να πιάνουμε ένα μαθη­ τή που έχει κάνει κάτι κακό ή πει κάτι λανθασμένο και να τον εξευτε­λίσουμε δημόσια;

Ίσως η ανάγκη για aυτοεκτίμηση και aυτοσεβασμό, όπως αυτή μπορεί να ικανοποιηθεί στο σχολείο και την τάξη, να οδηγήσει τον μαθητή στην ικανοποίηση της ανάγκης για αυτοπραγμάτωση. Ίσως όμως χρειαστούν και άλλα πράγματα που θα βοηθήσουν. Το πρό­βλημα, ωστόσο, είναι το γεγονός ότι για να ικανοποιηθεί η ανάγκη για αυτοπραγμάτωση χρειάζεται χρόνος. Επιπλέον, το σχολείο, λόγω της ιδιομορφίαςτου τα περισσότερα πράγματα επιτελούνται σε συγκεκριμένο χώρο και χρόνο και του καταναγκαστικού του χαρα­ κτήρα, παρά τον όποιο προοδευτισμό, ίσως να μην είναι ο κατάλλη­ λος φορέας για ν κάνει τον μαθητή να φθάσει το μέγιστο δυναμικό του.

2. Η συμβολή του Gιasser

Ξεφεύγοντας από την ανάγκη για αυτοπραγμάτωση, ο Gιasser (1984, 1986), στη Θεωρία Ελέγχου που πρότεινε, μιλά για ανάγκες, οι οποίες φαίνεται ότι μπορούν να ικανοποιηθούν μέσα στη σχολική τά­ ξη. Αυτές είναι: η ανάγκη να ανήκεις κάποιου, η ανάγκη για ισχύ, η ανάγκη για να περνάμε ωραία και η ανάγκη για ελευθερία. Φυσικά, αυτές οι ανάγκες ακούγονται περισσότερο ρεαλιστικές, κυρίως για παιδιά του νηπιαγωγείου και τους μαθητές του δημοτικού, αλλά και του γυμνασίου.

Godel - Το θεώρημα της μη πληρότητας και φιλοσοφικές προεκτάσεις

Για να εκτιμηθεί ο αντίκτυπος του θεωρήματος της μη πληρότητας του Godel, είναι κρίσιμο να καταλάβουμε πώς τα μαθηματικά ήταν αντιληπτά την περίοδο που αποδείχθηκε. Μετά από πολλούς αιώνες συνύπαρξης υπό ίσους όρους ασαφών διαισθητικών αντιλήψεων και ακριβούς λογικής, τα μαθηματικά στο τέλος του 19ου αιώνα άρχισαν να αποσαφηνίζονται. Επινοήθηκαν τα αποκαλούμενα τυπικά συστήματα. Στα τυπικά συστήματα τα θεωρήματα, με χρήση αυστηρών κανόνων, βλαστάνουν από τα αξιώματα όπως τα κλαδιά από ένα δέντρο. Αυτή η διαδικασία έπρεπε να αρχίσει από κάπου. Και τα αξιώματα ήταν αυτοί οι αρχέγονοι σπόροι από τους οποίους όλα τα άλλα αναπήδησαν.

Η δύναμη αυτού του μηχανιστικού οράματος των μαθηματικών ήταν ότι εξάλειπτε την ανάγκη για τη σκέψη ή την κρίση. Εφ' όσον τα αξιώματα ήταν σωστά και εφ' όσον οι κανόνες με τους οποίους γινόταν η χρήση τους διατηρούσαν την αλήθεια, τα μαθηματικά δεν θα μπορούσαν να εκτροχιαστούν σε αναλήθειες. Η αλήθεια ήταν εξασφαλισμένη μέσω μιας αυτόματης θεωρητικής μεθοδολογίας. Ένας από τους μεγάλους μαθηματικούς στόχους ήταν να μειωθεί η όλη θεωρία αριθμών σε ένα τελικό τυπικό σύστημα. Όπως στη γεωμετρία του Ευκλείδη, ένα τέτοιο σύστημα θα άρχιζε με μερικά απλά αξιώματα που είναι σχεδόν αναμφισβήτητα, και θα παρείχε τα θεωρήματα με έναν μηχανικό τρόπο. Η ιδέα ήταν ότι αυτό το σύστημα θα εμπεριείχε κάθε δήλωση που θα μπορούσαμε να κάνουμε για τους φυσικούς αριθμούς. Έτσι εάν κάναμε τη δήλωση «κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος από 2 είναι το άθροισμα δύο πρώτων» θα ήμασταν σε θέση να αποδείξουμε αυστηρά, από τα αξιώματα, είτε ότι είναι αληθής είτε ότι είναι ψευδής. Οι λέξεις «αληθές» και «ψευδές» θα γίνονταν συνώνυμα των «αποδείξιμο» και «διαψεύσιμο» αντίστοιχα, μέσα στο σύστημα αυτό. Το Principia Mathematica των Russell και Whitehead ήταν η διασημότερη προσπάθεια να βρεθεί ένα τέτοιο σύστημα.

Το θεώρημα του Godel κατέρριψε την ελπίδα αυτήν εντελώς. Δε βρήκε απλά μια ρωγμή στο συλλογισμό των Russell και Whitehead, η οποία πιθανώς θα μπορούσε να επιδιορθωθεί. Έδειξε ότι ο ολόκληρος στόχος είναι ανεπίτευκτος! Πιο συγκεκριμένα, ο Godel έδειξε ότι σε οποιοδήποτε τυπικό σύστημα, υπάρχει πάντα μια δήλωση για τους φυσικούς αριθμούς που είναι αληθινή, αλλά που δεν μπορεί να αποδειχθεί στο σύστημα. Με άλλα λόγια, τα μαθηματικά δεν θα είναι ποτέ το αυστηρό κι ακλόνητο σύστημα που οι μαθηματικοί ονειρεύονταν επί χιλιετίες.

Αλλά ας προσεγγίσουμε λίγο τον συλλογισμό της αποδεικτικής του. Το σύνολο συμβόλων με το οποίο οι δηλώσεις στα τυπικά συστήματα γράφονται συμπεριλάμβαναν συνήθως, χάριν σαφήνειας, τους αριθμούς, πρόσημα, παρενθέσεις και ούτω καθ' εξής. Αυτά όμως δεν είναι απαραίτητα. Οι δηλώσεις θα μπορούσαν εξίσου καλά να χτιστούν πάνω σε εικόνες που αντιπροσωπεύουν δαμάσκηνα, πορτοκάλια, ή οποιοδήποτε εντελώς αυθαίρετο σύνολο, εφ' όσον κάθε δαμάσκηνο εμφανιζόταν πάντα στις κατάλληλες θέσεις και μόνο σε αυτές. Έγινε προφανές ότι οι μαθηματικές δηλώσεις σε τέτοια συστήματα δεν ήταν κάτι περισσότερο από ακριβή δομημένα σχέδια φτιαγμένα επάνω σε αυθαίρετα σύμβολα.

Σύντομα μερικές οξυδερκείς ψυχές, με πρώτον τον Godel, συνειδητοποίησαν ότι αυτός ο τρόπος σκέψης για τα πράγματα άνοιγε έναν ολοκαίνουργιο κλάδο των μαθηματικών και συγκεκριμένα, τα μετα-μαθηματικά. Οι γνώριμη μέθοδος της μαθηματικής ανάλυσης θα μπορούσε να εφαρμοστεί πάνω στην ίδια τη διαδικασία που διαμόρφωσε την ουσία των τυπικών συστημάτων. Γιατί τα μαθηματικά δεν ήταν παρά ένα «υπόθεμα», το αρχικό παράδειγμα, πάνω στα οποία χτίστηκαν. Έτσι τα μαθηματικά αρχίζουν να μοιάζουν σαν ένα φίδι που τρώει τον εαυτό του.

Ο Godel κατέδειξε ότι παρουσιάζονται παράξενες συνέπειες, όταν τα μαθηματικά εξετάζουν τον εαυτό τους. Ένας απλός τρόπος για να γίνει αυτό σαφές είναι να φανταστεί κανείς ότι σε κάποιο πλανήτη (π.χ. στον Άρη) όλα τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται για να γράψουν μαθηματικά βιβλία τυχαίνει -από κάποια καταπληκτική σύμπτωση- να μοιάσουν με τους αριθμούς μας από 0 μέχρι 9. Κατά συνέπεια όταν συζητούν Αριανοί στα εγχειρίδιά τους για μια συγκεκριμένη διάσημη ανακάλυψη που θα εκφράζαμε ως: «Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί», αυτό που γράφουν καταλήγει να μοιάζει με αυτό: «8445329844508787863070005 766619463864545067111». Σε μας μοιάζει με έναν αριθμό 46 ψηφίων. Στους Αριανούς, εντούτοις, δεν είναι καθόλου ένας αριθμός αλλά μια δήλωση. Δηλώνει την απειρότητα των πρώτων αριθμών με τη σαφήνεια που το κάνουν οι δικές μας τέσσερις λέξεις.

Τώρα ας φανταστούμε ότι θελήσαμε να μιλήσουμε για τη γενική φύση όλων των θεωρημάτων των μαθηματικών. Εάν κοιτάξουμε στα εγχειρίδια των Αριανών, όλα τα ανάλογα θεωρήματα θα φαίνονται στα μάτια μας σαν απλοί αριθμοί. Και έτσι θα μπορούσαμε να αναπτύξουμε μια επιμελημένη θεωρία για το ποιοι αριθμοί θα μπορούσαν να εμφανιστούν στα Αριανά εγχειρίδια και ποιοι αριθμοί δεν θα εμφανίζονταν ποτέ. Φυσικά δεν θα μιλούσαμε πραγματικά για τους αριθμούς, αλλά μάλλον για τις σειρές των συμβόλων που σε μας μοιάζουν με αριθμούς. Και όμως, μήπως θα ήταν ευκολότερο για μας να ξεχάσουμε τι σημαίνουν αυτές οι σειρές των συμβόλων στους Αριανούς και να τους αντιληφθούμε ως απλούς αριθμούς;

Ο Godel χρησιμοποίησε μια τέτοια απλή μετατόπιση της προοπτικής. Το τέχνασμά του είναι να φανταστούμε ότι μελετούμε αυτό που θα ονομάζαμε «Αριανικής-παραγωγής αριθμοί» (εκείνους τους αριθμούς που είναι στην πραγματικότητα θεωρήματα στα Αριανά εγχειρίδια), και να υποβάλλουμε ερωτήσεις όπως, «είναι ή δεν είναι ο αριθμός 8030974 Αριανικής παραγωγής;» Δηλαδή, «η δήλωση «8030974» θα εμφανιστεί ή όχι σε ένα Αριανό εγχειρίδιο;».

Ο Godel, αφού σκέφτηκε πολύ προσεκτικά αυτό το μάλλον σουρεαλιστικό σενάριο, σύντομα συνειδητοποίησε (κι αυτό το σημείο είναι κρίσιμο) ότι η ιδιότητα του να είναι ένας αριθμός «Αριανικής παραγωγής» δεν ήταν και τόσο διαφορετική από γνωστές έννοιες όπως ο «πρώτος αριθμός» «περιττός αριθμός» και ούτω καθ' εξής. Το σύνολο των «Αριανικής παραγωγής» αριθμών, δηλαδή, διαφέρει ουσιωδώς από ένα σύνολο τυχαίων αριθμών. Κατά συνέπεια γήινοι θεωρητικοί μελετητές των αριθμών θα μπορούσαν, με τα τυποποιημένα εργαλεία τους, να αντιμετωπίσουν ερωτήσεις όπως, παραδείγματος χάριν, «Ποιοι αριθμοί είναι αριθμοί «Αριανικής παραγωγής», και ποιοι δεν είναι;» ή «υπάρχουν απείρως πολλοί «μη Αριανικής παραγωγής» αριθμοί;» Τα προηγμένα μαθηματικά εγχειρίδια – τόσο στη γη, όσο και στον Άρη- θα μπορούσαν να έχουν ολόκληρα τα κεφάλαια για τους αριθμούς «Αριανικής παραγωγής».

Και έτσι, σε μια από τις πιο ευφυείς συλλήψεις στην ιστορία των μαθηματικών, ο Godel επινόησε μια εκπληκτική δήλωση που έλεγε απλά «ο Χ δεν είναι ένας αριθμός «Αριανικής παραγωγής» » όπου το Χ είναι ο ακριβής αριθμός που διαβάζουμε όταν η δήλωση «ο Χ δεν είναι ένας αριθμός «Αριανικής παραγωγής» » είναι γραμμένη με την Αριανή σημειολογία. Ας το σκεφτούμε λίγο. Γραμμένη με την Αριανή σημειολογία, η δήλωση «Χ δεν είναι ένας αριθμός «Αριανικής παραγωγής»» θα μοιάζει σε μας σαν μια τεράστια σειρά των ψηφίων. Αλλά αυτή η σειρά (Αριανικών) ψηφίων είναι η δική μας σημειολογία του αριθμού Χ (για την οποία η ίδια η δήλωση μιλά). Αυτές οι απίθανες περιπλοκές ήταν η ειδικότητα του Godel.

Αντιλαμβανόμενος έτσι τα θεωρήματα ως σχέδια συμβόλων, ο Godel ανακάλυψε ότι είναι δυνατό για μια δήλωση σε ένα τυπικό σύστημα όχι μόνο να μιλήσει για το ίδιο, αλλά και για να αρνηθεί την ίδια την θεωρητική του μεθοδολογία. Οι συνέπειες αυτής της απροσδόκητης «εμπλοκής» που κρύβεται μέσα στα μαθηματικά ήταν καταλυτικές και - παραδόξως - είναι πολύ λυπηρές για τους Αριανούς. Γιατί λυπηρές; Επειδή οι Αριανοί –όπως και οι Russell και Whitehead - είχαν ελπίσει, όπως προανέφερα, ότι το τυπικό τους σύστημα θα περιελάμβανε όλες τις αληθινές δηλώσεις των μαθηματικών. Εάν η δήλωση Godel είναι αληθινή, δεν είναι ένα θεώρημα που βρίσκεται στα εγχειρίδιά τους και δεν θα εμφανιστεί ποτέ- αφού λέει ότι δεν θα εμφανιστεί! Εάν εμφανιζόταν στα εγχειρίδιά τους, αυτό που λέει για τον εαυτό του θα ήταν λανθασμένο. Τα μαθηματικά τους εγχειρίδια θα αναγνώριζαν αναλήθειες ως αληθινές.

Το αποτέλεσμα όλων αυτών είναι ότι ο πολυπόθητος στόχος της διαμόρφωσης ενός τέλειου τυπικού συστήματος αποκαλύπτεται ότι είναι χιμαιρικός. Όλα τα τυπικά συστήματα - τουλάχιστον αυτά που είναι αρκετά ισχυρά να είναι ενδιαφέροντα - αποδεικνύονται ελλιπή επειδή είναι σε θέση να διατυπώσουν δηλώσεις που λένε για το εαυτό τους ότι δεν μπορούν να αποδειχθούν. Αυτό, εν συντομία, εννοούμε όταν λέμε ότι ο Godel το 1931 κατέδειξε τη «μη πληρότητα των μαθηματικών». Δεν είναι ακριβώς τα μαθηματικά τα ίδια που δεν έχουν πληρότητα, αλλά οποιοδήποτε τυπικό σύστημα που προσπαθεί να συλλάβει όλες τις αλήθειες των μαθηματικών σε πεπερασμένο σύνολό αξιωμάτων και κανόνων. Ίσως πλέον αυτό να μη μας κλονίζει τόσο, αλλά για τους μαθηματικούς στη δεκαετία του '30, ανετράπη ολόκληρη η κοσμοθεώρησή τους και τα μαθηματικά δεν θα ήταν ποτέ τα ίδια.

Το άρθρο του 1931 του Godel έκανε άλλα πράγματα: εφηύρε τη θεωρία των «recursive functions», η οποία είναι σήμερα η βάση μιας σημαντικής θεωρίας προγραμματισμού ηλεκτρονικών υπολογιστών. Πράγματι, στην καρδιά του άρθρου του Godel βρίσκεται αυτό που μπορεί να δει κανείς ως επιμελημένο πρόγραμμα υπολογιστών παραγωγής «Αριανικών» αριθμών. Και αυτό το πρόγραμμα γράφεται σε έναν φορμαλισμό που μοιάζει έντονα με αυτόν τον το γλωσσικό προγραμματισμό, ο οποίος εφευρέθη 30 χρόνια αργότερα.

Το θεώρημα του Godel έχει χρησιμοποιηθεί για να υποστηρίξει ότι ένας υπολογιστής δεν μπορεί ποτέ να γίνει τόσο έξυπνος όσο ένας άνθρωπος επειδή η έκταση της γνώσης του πρώτου περιορίζεται από ένα δεδομένο σύνολο αξιωμάτων, ενώ οι άνθρωποι μπορούν να ανακαλύψουν τα απροσδόκητες αλήθειες… Παίζει ρόλο στις σύγχρονες γλωσσικές θεωρίες, οι οποίες υπογραμμίζουν τη δύναμη της γλώσσας να βρίσκει νέους τρόπους να εκφραστούν οι ιδέες.

Eχει επίσης χρησιμοποιηθεί για να υποστηρίξει ότι δεν θα γίνουμε ποτέ κατανοητοί από τον εαυτό μας, δεδομένου ότι το μυαλό σας, είναι κι αυτό ένα κλειστό σύστημα. Όπως δεν μπορούμε να δούμε τα πρόσωπά μας με τα μάτια μας, δεν μπορούμε να καθρεπτίσουμε πλήρως τις διανοητικές μας δομές στον ίδιο μας τον εγκέφαλο.

Ένα άλλο παραπλήσιο πόρισμα του θεωρήματος είναι πως δεν μπορούμε ποτέ να είμαστε βέβαιοι πως δεν έχουμε παραφρονήσει. Ο παράφρων ερμηνεύει τον κόσμο μέσω της (παραδόξως) συνεπούς λογικής του. Πώς μπορούμε να αποφανθούμε εάν η λογική μας είναι παράδοξη ή όχι, δεδομένου ότι έχουμε μόνο τη λογική μας για να το κρίνουμε; Αναφέρω εδώ και το δεύτερο θεώρημα Godel, το οποίο καταδεικνύει ότι τα μόνα αριθμητικά τυπικά συστήματα που είναι ασυνεπή είναι αυτά που βεβαιώνουν τη συνέπειά τους. Αυτό μοιάζει να υπαινίσσεται πως όποιος πιστεύει με βεβαιότητα πως δεν είναι παράφρων, σίγουρα θα είναι…

Όμως η πιο σοβαρή συνέπεια του θεωρήματος της μη πληρότητας στην φιλοσοφία είναι η εξής: Αν και το θεώρημα μπορεί να δηλωθεί και να αποδειχθεί με έναν αυστηρά μαθηματικό τρόπο, αυτό που φαίνεται να λέει είναι ότι η λογική σκέψη δεν μπορεί ποτέ να διεισδύσει στην τελική αλήθεια… Προφανώς, για τους σπουδαστές της λογικής, η πλήρης κατανόηση του θεωρήματος είναι μια ανατρεπτική εμπειρία. Κι ίσως το να καταλάβει κανείς την ουσιαστικά αδιέξοδη φύση ενός λαβυρίνθου αποτελεί και ενός είδους απελευθέρωσης από αυτόν.