Fractals Η νέα γεωμετρική προσέγγιση του κόσμου μας

...της Ειρήνης Περυσινάκη (Phd Μαθηματικός). Προσπαθήσαμε να καταγράψουμε εικόνες μαθηματικής τάξης και αρμονίας στη φύση. Παρατηρήσαμε λοιπόν την επαναλαμβανόμενη εμφάνιση της χρυσής τομής και των αριθμών Fibonacci, τις σπείρες που δημιουργούνται κυρίως κατά την ανάπτυξη των οργανισμών και ακόμα και τις πολύ τακτικές διατάξεις των πλακοστρώσεων που εμφανίζονται όταν όμοιες μονάδες συσσωρεύονται σε επιφάνειες ή στον χώρο. Θα μπορούσαμε να αναφερθούμε και σε άλλες τακτικές διατάξεις όπως είναι για παράδειγμα οι συμμετρίες που εμφανίζονται στη φύση ή να αναλογιστούμε για την σχέση μεγέθους και σχήματος.

Αλλά και μόνο αυτά τα λίγα που παραθέσαμε είναι ικανά για να μας προβληματίσουν και να μας οδηγήσουν στο ερώτημα: Είναι στα αλήθεια η φύση τόσο τακτική; Πάντα υπάρχουν τα Μαθηματικά πίσω και από την πιο πολύπλοκη ή την πιο απλή μορφή ή διαδικασία; Μία πρώτη απάντηση είναι φυσικά ΟΧΙ! Θέλετε παραδείγματα που ενισχύουν αυτή την άποψη; Πάρτε ένα σύννεφο το σχήμα του είναι αρκετά ακαθόριστο για να βρούμε σε αυτό κάποια τάξη. Το ίδιο ισχύει και για ένα βουνό ή μία ακτή. Τα δαντελωτά περιγράμματά τους είναι μάλλον τυχαία. Στη φύση λοιπόν υπάρχουν και τυχαίες καταστάσεις και μορφές που είναι αρκετά ακαθόριστες. Ο κανόνας της τάξης λοιπόν καταρρίπτεται εύκολα.

Η δύναμη των Μαθηματικών όμως, αρκετές φορές μας ξαφνιάζει. Είναι η επιστήμη που μπόρεσε να μελετήσει την έννοια του τυχαίου και πιθανού και μάλιστα να βρει τρόπους να το μετρήσει όπως θα μετρούσε για παράδειγμα το ύψος ενός ανθρώπου. Φυσικά αναφερόμαστε στην δημιουργία της Θεωρίας Πιθανοτήτων που είναι ένας από τους πιο σύγχρονους κλάδους των Μαθηματικών, ιδιαίτερα σημαντικός για τη ζωή μας. Η τελευταία μαθηματική πρόκληση του αιώνα μας είναι η μελέτη του χάους. Να καταλάβουμε δηλαδή με ακρίβεια πώς δημιουργούνται τυχαίες διατάξεις όπως τα σύννεφα που αναφέραμε, η κίνηση των μορίων του αέρα ή η διάχυση του πετρελαίου στα διάφορα πετρώματα (σκεφτείτε πόσο πιο εύκολα θα βρίσκαμε πετρέλαιο αν γνωρίζαμε κάτι τέτοιο).

Αλλά πώς μπορεί κανείς να ξεκινήσει να μελετά χαοτικές καταστάσεις; Το ένστικτο των επιστημόνων τους υπαγόρευε ότι μία απλή διαδικασία που επαναλαμβάνεται αμέτρητες φορές μπορεί να οδηγήσει τελικά σε μία πολύπλοκη διαδικασία. Για να δούμε ένα τέτοιο παράδειγμα, πάρτε ένα ευθύγραμμο τμήμα και αφαιρέστε το κεντρικό 1/3 κομμάτι. Στη συνέχεια αφαιρέστε πάλι από κάθε κομμάτι που έμεινε, το κεντρικό ένα τρίτο του, και συνεχίστε κατά τον ίδιο τρόπο και στα επόμενα κομμάτια (σχήμα 1). Αν φανταστούμε τη διαδικασία αυτή να συνεχίζεται ασταμάτητα, το τελικό αποτέλεσμα θα είναι ένα σχήμα που δεν περιέχει κανένα ευθύγραμμο τμήμα. Το σύνολο αυτό λέγεται σύνολο του Cantor αφού ο πρώτος που εισήγαγε και μελέτησε αυτό το σύνολο ήταν ο μαθηματικός Georg Cantor (1845 – 1918), ο πατέρας της Θεωρίας Συνόλων. Πολλοί το ονομάζουν και σκόνη Cantor γιατί τα σημεία του δεν παρουσιάζουν καμία συνοχή.

σχήμα 1 (πρώτα στάδια κατασκευής του συνόλου Cantor)

Η καμπύλη Koch, η χιονονιφάδα Koch και το τρίγωνο του Sierprinski

Σ’ αυτή την παράγραφο θα περιγράψουμε ακόμα τρεις απλές διαδικασίες που οδηγούν σε τρία πολύπλοκα σχήματα του επιπέδου.

Η καμπύλη Koch:

Η διαδικασία είναι όμοια με την κατασκευή του συνόλου Cantor με τη διαφορά πως όταν αφαιρούμε το μεσαίο ένα τρίτο προσθέτουμε τώρα στη θέση του δύο πλευρές ενός ισόπλευρου τριγώνου. Τα δύο πρώτα στάδια κατασκευής φαίνονται στο επόμενο σχεδιάγραμμα. Και εδώ φανταστείτε η διαδικασία να συνεχίζεται επ’ άπειρο. Το αποτέλεσμα θα είναι μια ιδιαίτερα δαντελωτή καμπύλη, η καμπύλη Koch.

Η χιονονιφάδα Koch

Φανταστείτε ότι τις πλευρές ενός ισόπλευρου τριγώνου τις αντικαθιστούμε με τρεις καμπύλες Koch. Η κλειστή καμπύλη που θα προκύψει, μας θυμίζει το σχήμα χιονονιφάδας. Η επωνυμία χιονονυφάδα Koch δίδεται στην επιφάνεια που περικλείει αυτή η καμπύλη. Ένας εναλλακτικός τρόπος κατασκευής περιγράφεται στα επόμενα σχεδιαγράμματα: Ξεκινάμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Προσθέτουμε στις πλευρές του, ακριβώς στη μέση τρία άλλα ισόπλευρα τρίγωνα με πλευρές 1/3 του αρχικού. Σε κάθε νέο τμήμα της περιμέτρου, προσθέτουμε ξανά από ένα ισόπλευρο τρίγωνο που οι πλευρές του είναι το 1/3 των προηγούμενων τριγώνων. Συνεχίζοντας κατ’ αυτόν τον τρόπο απεριόριστα θα λάβουμε ένα επίπεδο σχήμα, την χιονονιφάδα Koch (ή von Koch).

Το τρίγωνο του Sierprinski

Και εδώ ξεκινάμε με ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Ενώνοντας τα μέσα των πλευρών του παρατηρούμε ότι δημιουργούνται τέσσερα ίσα ισόπλευρα τρίγωνα που η πλευρά τους είναι μισή από την πλευρά του αρχικού τριγώνου. Αν αφαιρέσουμε το μεσαίο τρίγωνο τότε μένουν τα τρία εξωτερικά τρίγωνα. Από καθένα από αυτά αφαιρούμε ξανά το μεσαίο τρίγωνο που η πλευρά του είναι και αυτή μισή από την πλευρά του τριγώνου που το περιέχει. Συνεχίζοντας την διαδικασία απεριόριστα δημιουργείται ένα πολύπλοκο σχήμα που ονομάζεται τρίγωνο του Sierprinsi. Αν θυμηθούμε, όταν χρωματίσαμε τους άρτιους αριθμούς στο τρίγωνο του Pascal, είχαμε παρατηρήσει ακριβώς αυτούς τους σχηματισμούς.

χιονονιφάδα Koch
τρίγωνο Sierprinski

Ακόμα πιο πολύπλοκα σχήματα που γεννιούνται με απλές διαδικασίες

Στα προηγούμενα παραδείγματα οι κανόνες κατασκευής ήταν πολύ αυστηροί, με την έννοια ότι απουσίαζε ο παράγοντας τύχη. Για παράδειγμα στο τρίγωνο του Sierprinsi αφαιρούσαμε πάντα το 1/3 του αρχικού τριγώνου και πάντα από την μέση. Τι θα γινότανε αν επιτρέπαμε να αφαιρούμε μία τυχαία σμίκρυνση του αρχικού από μία τυχαία ή σχεδόν τυχαία θέση; Φυσικά το αποτέλεσμα θα ήταν αρκετά διαφορετικό.

Με την βοήθεια των ηλεκτρονικών υπολογιστών τέτοιες τυχαίες κατασκευές είναι εφικτές και σχετικά εύκολες. Φυσικά οι υπολογιστές δεν συνεχίζουν την διαδικασία επ’ άπειρο, αλλά μπορούν να αποδώσουν αρκετά λεπτομερή στάδια της διαδικασίας.

Για να το καταλάβουμε αυτό, ας προσέξουμε τα παρακάτω σχεδιαγράμματα. Ξεκινάμε με τρία ορθογώνια που καθένα έχει δικές του διαστάσεις και έχει περιστραφεί κατά έναν ξεχωριστό τρόπο (α). Στο (β) αντικαθιστούμε κάθε ένα από αυτά τα ορθογώνια με τρία άλλα που προκύπτουν από τυχαίες σμικρύνσεις των τριών αρχικών ορθογωνίων. Συνεχίζοντας έτσι, παρατηρούμε ότι σε μερικά βήματα θα δημιουργηθεί ένα σχέδιο που κατά πολύ θα μας θυμίζει την εικόνα ενός δέντρου (δ).

α	β
γ	δ

Θα μπορούσαμε να είχαμε ξεκινήσει με ένα διαφορετικό σχήμα και όχι με τρία ορθογώνια. Το ενδιαφέρον στην όλη διαδικασία είναι ότι δημιουργούνται τέτοιες λεπτομέρειες που θυμίζουν έντονα φυσικούς σχεδιασμούς. Αυτή η μέθοδος έγινε ένα κύριο εργαλείο για οικονομικό αλλά και λεπτομερή σχεδιασμό δένδρων, τοπίων με εφαρμογές στην εικονική πραγματικότητα. Για παράδειγμα, μία φωτογραφία ενός πραγματικού τοπίου μπορεί να αποτελέσει την βάση για την δημιουργία ενός τρισδιάστατου τοπίου που δεν θα απέχει και πολύ από την πραγματικότητα. Οι επόμενες τρεις εικόνες, η φτέρη, το δενδράκι και το τοπίο δημιουργήθηκαν με παρόμοιες μεθόδους. Οι λεπτομέρειές τους είναι αρκετά εντυπωσιακές.

Τα Fractals - Γεωμετρικά και ιστορικά σχόλια

Όλα τα παραπάνω σχήματα που περιγράψαμε είναι γνωστά στα μαθηματικά με τον όρο Fractals ( fractal ο ενικός). Στην ελληνική βιβλιογραφία ο όρος αυτός έχει επικρατήσει και δεν του έχει γίνει κάποια επίσημη μετάφραση. Συναντήσαμε όμως σε μερικά βιβλία την ανεπίσημη μετάφραση του όρου ως κλασματικό. Πότε όμως ένα σχέδιο επιδέχεται τον χαρακτηρισμό fractal; Ποιες χαρακτηριστικές ιδιότητες κατέχει;


To 1963 o Πολωνός μαθηματικός Mandelbrot (έτος γεννήσεως 1923) του ερευνητικού κέντρου Thomas J. Watson, της IBM, συνέλαβε την έννοια σχημάτων με την χαρακτη-ριστική ιδιότητα να παραμένουν αμετάβλητα ως προς την πολυπλοκότητά τους σε οποιαδήποτε κλίμακα κι αν παρατη-ρηθούν. Για παράδειγμα, αν παρατηρήσουμε ένα σύννεφο, θα το βρούμε εντελώς όμοιο με ένα οποιοδήποτε τμήμα του. Αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αυτοομοιότητα και είναι μία ιδιότητα που χαρακτηρίζει τα fractals. Πάρτε για παράδειγμα την καμπύλη Koch, θα δείτε ότι κάθε κομμάτι της είναι απλώς μία σμίκρυνση ολόκληρης της καμπύλης.

Τη λέξη fractal την επινόησε ο Mandelbrot από το λατινικό frangere, που σημαίνει «σπάω». Οι αρχαίοι Ρωμαίοι έδιναν σ’ αυτή την λέξη τη σύνθετη έννοια της κατάτμησης και της μη ομαλότητας. Το αντίστοιχο επίθετο είναι fractus, από όπου προέκυψε το fractal.

Ο Mandelbrot έκανε την πρώτη του δημοσίευση για τα fractals το 1975. Αν και οι μαθηματικοί είχαν κατασκευάσει από το 1875 σύνολα fractals (όπως το σύνολο του Cantor), δεν τα είχαν έως τότε μελετήσει συστηματικά. Αλλά και πάλι, μετά από αυτή την πρώτη δημοσίευση η απήχηση στην μαθηματική κοινότητα δεν ήταν μεγάλη. Το ενδιαφέρον άρχισε να εντείνεται παράλληλα με την βελτίωση των γραφικών των υπολογιστών. Όταν πλέον έγιναν αντιληπτές αρκετές από τις εφαρμογές των fractals στην φυσική και την βιολογία, ο τομέας αυτός ήκμασε ιδιαίτερα. Σήμερα έχουν γίνει πάρα πολλές μελέτες και πραγματικά βρισκόμαστε μπροστά σε συναρπαστικές ανακαλύψεις και θεωρίες.

Αν και σε μία περιβαλλοντική εργασία δεν μπορούμε να πούμε πολλά πράγματα για την γεωμετρία των fractals, οφείλουμε να πούμε πως ότι ο αυστηρός ορισμός τους συνδέεται με μία νέα μαθηματική έννοια, την κλασματική διάσταση. Υπάρχουν διάφοροι ορισμοί κλασματικής διάστασης. Για να πάρουμε μία ιδέα για το τι εννοούμε ας αναλογιστούμε τι σημασία έχει η γνωστή ευκλείδεια διάσταση. Ένα ευθύγραμμο τμήμα έχει διάσταση 1, ένα τετράγωνο έχει διάσταση 2 ενώ ένας κύβος έχει διάσταση 3. Οι αριθμοί 1, 2 και 3 είναι οι αριθμοί που εμφανίζονται σαν εκθέτες όταν για παράδειγμα, διαιρώντας κάθε πλευρά των προηγούμενων σχημάτων στα δύο, σχηματιστούν αντίστοιχα 2¹ ευθύγραμμα τμήματα, 2² τετράγωνα και 2³ κύβοι. Οι αντίστοιχες Hausdorff διαστάσεις, μία άλλη έννοια διάστασης, είναι log (2¹)/log2 = 1, log (2²)/log2=2 και log (2³)/log2 =3 που είναι ίδια με την ευκλείδεια διάσταση. Στο τρίγωνο του Sierprinski επειδή σε κάθε στάδιο κάθε πλευρά διαιρείται στα δύο αλλά παίρνουμε τρία αντίγραφα και όχι τέσσερα, η Hausdorff διάσταση είναι log 3/log2 = 1,584…., δηλαδή δεν είναι ακέραιη. Αυτή είναι και η fractal ή κλασματική διάσταση του σχήματος. Ας παρατηρήσουμε ότι η διάσταση δεν είναι πάνω από 2 μια και το τρίγωνο του Sierprinski το σχεδιάσαμε στο επίπεδο, είναι δηλαδή υποσύνολο του δισδιάστατου επιπέδου που έχει διάσταση 2. Επίσης είναι κάτι πιο πολύπλοκο από μία μονοδιάστατη καμπύλη, γι’ αυτό και έχει διάσταση μεγαλύτερη από 1.

Το ότι κάποια σχήματα έχουν κλασματική διάσταση, και όχι ακέραια, όπως είχαμε συνηθίσει, άνοιξε το δρόμο για να απαντηθούν αρκετά ερωτήματα της φυσικής γύρω από φαινόμενα που παρέμεναν αινιγματικά για πολλούς αιώνες. Θα αναφέρουμε μερικά στην επόμενη παράγραφο.

Μία ακόμα περίεργη γεωμετρική ιδιότητα των fractals που δεν την έχουν τα γνωστά σχήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας, είναι ότι λόγο της πολυπλοκότητας των περιγραμμάτων που εμφανίζονται, δημιουργούνται καμπύλες με άπειρο μήκος που όμως περικλείουν επιφάνειες με πεπερασμένο εμβαδόν. Αυτό μπορούμε να το διαπιστώσουμε εύκολα για την χιονονιφάδα του Koch. Στο βιβλίο της Β΄ Λυκείου στο κεφάλαιο για τις γεωμετρικές προόδους, υπάρχει μία άσκηση όπου σε κάθε βήμα κατασκευής την χιονονιφάδας Koch ζητείται να υπολογιστεί η περίμετρος και το εμβαδόν κάθε σχήματος. Αυτό που μπορεί κανείς να διαπιστώσει μετά από αυτούς τους υπολογισμούς είναι ότι η περίμετρος τελικά γίνεται άπειρη, ενώ το εμβαδόν είναι πεπερασμένο.

Εφαρμογές των fractals στη φυσική και βιολογία

Καταρχήν τα fractals ξεκίνησαν σαν ένα αντικείμενο των καθαρών μαθηματικών, επινόημα της ανθρώπινης φαντασίας. Δεν πέρασε πολύς καιρός όμως, για να αναδειχτούν ως ένα από τα σημαντικότερα εργαλεία για την κατανόηση πολλών μηχανισμών του φυσικού κόσμου και την επιτυχή μίμησή τους μέσω των υπολογιστών.

Η πρώτη εφαρμογή των fractals ήταν η λύση του προβλήματος του ηχητικών παράσιτων που δημιουργούνται κατά τις τηλεφωνικές συνομιλίες. Αυτά τα παράσιτα διαπίστωσε ο Mandelbrot ότι είναι ηλεκτρικές διαταραχές που εμφανίζονται ομαδοποιημένες. Ανάλογη ομαδοποίηση παρατήρησε και στα λάθη κατά την ηλεκτρική μεταβίβαση των δεδομένων των υπολογιστών. Η διαπίστωση ήταν ότι οι ομαδοποιήσεις αυτές και τα κενά μεταξύ τους θύμιζαν καταπληκτικά την δομή του συνόλου Cantor.

O Mandelbrot απέδωσε και στο σύμπαν ένα μοντέλο δομής ενός τρισδιάστατου συνόλου Cantor. Το μοντέλο αυτό σίγουρα δεν είναι καθόλου ρεαλιστικό όμως κατάφερε να ερμηνεύσει με επιτυχία την μέχρι τώρα ανεξήγητη κατανομή της αστρικής ύλης στο σύμπαν μας.

Θα αναφέρουμε με σύντομους σχολιασμούς μερικές εφαρμογές ακόμα που αποδεικνύουν την σπουδαιότητα των fractals και δικαιολογούν το γιατί πολλοί ερευνητές από διάφορους κλάδους στρέφονται σε αυτά για να βρουν απαντήσεις στα πολλά μυστήρια που μας περιβάλλουν. Μάλιστα αρκετές υποθέσεις που δεν είχαν τρόπο να αντιμετωπιστούν και ήταν «κλεισμένες στο συρτάρι» για δεκαετίες, ανακινούνται και εξετάζονται υπό το νέο φως των fractals.

· Για πολλά χρόνια μας απασχολούσε το ερώτημα για το πώς όμοια σωματίδια συνενώνονται για να δημιουργήσουν διάφορες δομές. Για παράδειγμα, πως ενώνονται οι κρύσταλλοι από τις σταγόνες της βροχής για να σχηματίσουν μια χιονονιφάδα; Γιατί αυτή έχει εξαγωνικό σχήμα; Ή πώς δημιουργούνται τα κολλοειδή εναπόθετα όπως είναι αυτά που δημιουργούνται από τη σκόνη και την αιθάλη; Με την χρήση των fractals αναπτύχθηκαν διάφορα μοντέλα που προσεγγίζουν αυτές τις μορφές. Έγινε φανερό το ότι αν το σχήμα θα είναι πιο πυκνό και σφαιρικό ή πιο αραιό και διακλαδιζόμενο (δενδρίτης) εξαρτάται από τον τρόπο κίνησης των σωματιδίων. Μια τέτοια ανάπτυξη θυμίζει πολύ την ανάπτυξη των κοραλλιών.

· Ένα άλλο πρόβλημα είναι αυτό της διάχυσης. Είναι ένα πρόβλημα όπου ένα υλικό που ευνοεί την διάχυση ανταγωνίζεται κάποιο άλλο που την εμποδίζει. Φανταστείτε να είχαμε ένα πάτωμα με πολύ μικρά πλακάκια κάποια από χαλκό και κάποια από πλαστικό. Το αν το ηλεκτρικό ρεύμα περάσει από την μία μεριά του πατώματος στην απέναντι, εξαρτάται από το αν θα βρεθεί ένα μονοπάτι μόνο με πλακάκια χαλκού. Η λογική μας υπαγορεύει ότι αν τα πλακάκια του χαλκού είναι περισσότερα από τα πλαστικά πλακάκια, τότε αυξάνεται η πιθανότητα να διαπεράσει το ρεύμα από την μια μεριά στην άλλη. Ακριβώς την ίδια εικόνα πρέπει να έχουμε και για τις άλλες φυσικές διαχύσεις. Το πετρέλαιο διαχέεται στα διάφορα πετρώματα. Άλλα είναι πορώδη και ευνοούν την διάχυση και άλλα όχι. Με ένα πρόγραμμα γραφικών υπολογιστή, μπορούμε να εξομοιώσουμε την διαδικασία της διάχυσης, που έχει fractal δομή. Ανάλογα με το πόσο οι ευνοϊκοί παράγοντες υπερέχουν των ενάντιων, παρατηρούμε να μεταβάλλεται το μέγεθος της διάχυσης. Καταλαβαίνουμε πόσο σημαντική είναι αυτή η γνώση για την αναζήτηση πετρελαίου. Άλλα προβλήματα διάχυσης πολύ σημαντικά για την ζωή μας που παρουσιάζουν fractal συμπεριφορά, είναι η εξάπλωση των επιδημιών σε έναν πληθυσμό (π.χ. σε ένα φυτώριο δέντρων), η εξάπλωση των πυρκαγιών στα δάση, ακόμα και ο τρόπος διάλυσης κάποιων ουσιών μέσα σε κάποιες άλλες όπως είναι η διάλυση των κόκκων του καφέ στο νερό.

· Ο Mandelbrot συνεργάστηκε με κάποιους μεταλλουργούς για να βρει μέθοδο καθορισμού της ανωμαλίας μιας μεταλλικής επιφάνειας. Κατέληξαν στο ότι αρκετές σπασμένες μεταλλικές επιφάνειες παρουσιάζουν μία ανωμαλία που μπορεί να αποδοθεί σε μία κλασματική διάσταση. Μάλιστα η διάσταση αυτή είναι χαρακτηριστική για κάθε μέταλλο ξεχωριστά και ανακάλυψαν πως η έκθεση των μετάλλων σε διάφορες θερμοκρασίες δεν επιδρά μόνο στην σκληρότητα και την αντοχή τους, αλλά μεταβάλλει και την κλασματική τους διάσταση. Έτσι αυτή η κλασματική διάσταση μπορεί να θεωρηθεί σαν ένα χρήσιμο μέτρο αντοχής και σκληρότητας των μετάλλων και των κραμάτων.

· Συνεχίζοντας την προηγούμενη εφαρμογή των fractals στη μεταλλουργία, να αναφέρουμε και ένα παράδειγμα από τον χώρο της ηλεκτροχημείας που για πολλές δεκαετίες ήταν ένα αίνιγμα για τους επιστήμονες. Συνήθως οι φυσικοί νόμοι έχουν απλές μαθηματικές εκφράσεις με ακέραιες δυνάμεις. Περιμένουμε δηλαδή στα πειράματά μας, όταν μία ποσότητα μεταβάλλεται, να μεταβάλλεται και κάποια άλλη ανάλογα με την 1^η, 2^η, 3^η, κ.ο.κ. δύναμη της πρώτης, όχι όμως ανάλογα με την 3/2^η δύναμη. Ένα παράδοξο φαινόμενο της ηλεκτροχημείας αφορούσε κάποια περίεργη ηλεκτρική συμπεριφορά, κατά την βύθιση ενός ηλεκτροδίου σε έναν ηλεκτρολύτη. Σύμφωνα με την κλασσική φυσική το σύστημα θα έπρεπε να λειτουργεί σαν πυκνωτής. Όταν λοιπόν περνάει εναλλασσόμενο ρεύμα θα έπρεπε η αντίσταση να είναι ανάλογη της πυκνότητας. Στην πραγματικότητα όμως η αντίσταση ήταν ανάλογη με μία κλασματική δύναμη της συχνότητας μεταξύ 0 και 1.

· Στους ζωντανούς οργανισμούς τα fractals δίνουν κανόνες και μοντέλα για το πώς αναπτύσσεται το νευρικό τους σύστημα, ο εγκέφαλος, ή ακόμα και το σύστημα των αρτηριών και φλεβών. Τελευταία οι επιστήμονες έχουν καταφέρει να δημιουργήσουν με επιτυχία σχηματισμούς όπως οι κηλίδες της λεοπάρδαλης, οι ραβδώσεις της ζέβρας ή της τίγρης και οι χαρακτηριστικές πολύχρωμες πιτσιλιές στα όστρακα των θαλασσινών. Οι διαδικασίες κατασκευής είναι απλές fractal διαδικασίες, γεγονός που έχει έντονα προβληματίσει τους επιστήμονες για τον ρόλο των γονιδίων. Ίσως και εμείς να είχαμε σχηματίσει την εντύπωση ότι στα γονίδια καταγράφεται με λεπτομέρεια κάθε χαρακτηριστικό ενός ζωντανού οργανισμού. Τώρα όμως οι επιστήμονες διαπιστώνουν ότι για να γίνει κάτι τέτοιο για ορισμένα χαρακτηριστικά, χρειάζεται δυσανάλογα μεγάλη μνήμη. Για παράδειγμα οι ραβδώσεις στο δέρμα της ζέβρας είναι για κάθε ζώο διαφορετικές, όπως ακριβώς τα δακτυλικά μας αποτυπώματα διαφέρουν από άνθρωπο σε άνθρωπο (ακόμα και οι δίδυμοι έχουν διαφορετικά) . Θα χρειαζότανε λοιπόν μεγάλη πληροφορία για την δημιουργία τόσων πολλών διαφορετικών μορφών. Τα γονίδια λοιπόν αφού δεν γίνεται να περιέχουν τέτοια λεπτομερή πληροφορία, ίσως περιέχουν απλώς την πληροφορία για το πώς δρουν οι χρωστικές ουσίες των οργανισμών.

· Στην μελέτη χαοτικών καταστάσεων όπως είναι οι κινήσεις των ρευστών (π.χ. κίνηση Brown των μορίων του αέρα ή η συμπεριφορά των προσεγγίσεων των λύσεων κάποιων μιγαδικών εξισώσεων), τα fractals έχουν φανεί ιδιαίτερα διαφωτιστικά. Το ενδιαφέρον είναι ότι οι χαοτικές καταστάσεις φαίνεται πως έχουν ένα είδος τάξης μέσα τους. Στην εικόνα που παράγεται κατά την εξέλιξη των χαοτικών διεργασιών, εμφανίζονται σχεδόν πάντα τα ίδια σχήματα fractals. Ένα από αυτά τα σχήματα fractal, γνωστό σαν σύνολο Mandelbrot, παρουσιάζει ιδιαίτερο ενδιαφέρον και μοιάζει με έναν ξαπλωμένο χιονάνθρωπο με κρεατοελιές. Το περίεργο με αυτό το fractal είναι ότι γίνεται όλο και πιο πολύπλοκο και κατσαρό σε μικρότερες κλίμακες. Τα τμήματά του δηλαδή είναι ακόμα πιο πολύπλοκα από το ολικό σχήμα.

· Από τις συζητήσεις στις προηγούμενες παραγράφους έγινε φανερό ότι τα fractal είναι ένα πολύ καλό και οικονομικό εργαλείο για την παραγωγή εικόνων και τοπίων που μιμούνται σε λεπτομέρεια τα φυσικά τοπία και συνεπώς είναι πολύ σημαντικά για την σύγχρονη τέχνη και επιστήμη που ονομάζουμε εικονική πραγματικότητα. Ουσιαστικά η εικονική πραγματικότητα είναι η τεχνολογική αναπαράσταση ενός αληθοφανούς κόσμου που με ειδικά ηλεκτρονικά αισθητήρια μπορούμε ακόμα και να ψηλαφίσουμε. Αν για παράδειγμα πάρουμε μία φωτογραφία της Ακρόπολης, ο ηλεκτρονικός υπολογιστής μπορεί σχετικά με απλό τρόπο να δημιουργήσει μία αληθοφανή τρισδιάστατη εικόνα της Ακροπόλεως (ίσως και όπως ήταν πριν από 2,5 χιλιάδες χρόνια περίπου), στην οποία μπορεί να κινηθεί το βλέμμα μας.

Όλες αυτές οι εφαρμογές των fractals είναι ιδιαίτερα εντυπωσιακές. Σίγουρα τα επόμενα χρόνια αναμένουμε και νέες ανακαλύψεις στην φυσική και την βιολογία και περιμένουμε πως αυτός ο κλάδος των Μαθηματικών θα αναπτυχθεί σημαντικά. Όπως και με τις πλακοστρώσεις βλέπουμε πως μία ιδέα μαθηματική, που επινόησε ο ανθρώπινος νους, βρήκε γρήγορα εφαρμογή σε πάρα πολλούς τομείς.

σύνολο Mandelbrot

δενδρίτες

Πηγή: Ειρήνη Περυσινάκη, Phd Μαθηματικός,