Ασάφεια

Ας υποθέσουμε πως κάποιος μας ζητάει να του δώσουμε έναν σωρό από σιτάρι ως πληρωμή για το έργο που έχει κάνει. Προφανώς ένας κόκκος σιταριού δεν είναι σωρός αλλά ούτε και δύο κόκκοι σιταριού κάνουν έναν σωρό. Μήπως όμως αν ρίξουμε τρεις κόκκους σιταριού στο έδαφος, αυτοί κάνουν έναν σωρό; Η απάντηση είναι και πάλι όχι. Όμως αν συνεχίσουμε να ρίχνουμε κόκκους, τότε θα έρθει κάποια στιγμή που θα σχηματιστεί ένας σωρός από κόκκους σιταριού. Το πρόβλημα είναι πως δεν προκαθορισμένο τι καθιστά έναν σωρό από κόκκους σιταριού! Αυτό το παράδοξο είναι γνωστό ως σόφισμα τοῦ σωρείτη και εισήχθη από τον Εὐβουλίδη τὸν Μιλήσιο. Ένα παρόμοιο παράδοξο είναι το λεγόμενο πρόβλημα των φαλακρών. Αν κάποιος δεν έχει καμία τρίχα στο κεφάλι του, προφανώς είναι φαλακρός. Αν όμως έχει μία, δύο ή περισσότερες τρίχες, τι συμβαίνει; Ένα διαφορετικό είδος «παραδόξου» είναι το εξής: η Λίλα έχει ύψος 1,75m, την καθιστά αυτό ψηλή ή όχι; Η απάντηση εξαρτάται από το περιβάλλον. Αν για παράδειγμα η Λίλα είναι ανάμεσα σε καλαθοσφαιριστές, προφανώς είναι κοντή. Από την άλλη αν είναι ανάμεσα σε πυγμαίους, είναι ψηλή. Κοινός παρανομαστής όλων των προηγούμενων παραδειγμάτων είναι ότι με τον ένα ή τον άλλο τρόπο είναι ασαφή. Τούτο σημαίνει πως η ασάφεια αναφέρεται σε περιπτώσεις όπου δεν είναι εύκολο ή απλό να καθορίσουμε τι έχει ή δεν έχει μια ιδιότητα ή ένα χαρακτηριστικό. Όμως αυτό δεν αποτελεί ορισμό της ασάφειας.

Ο Βρετανός φιλόσοφος Bertrand Russell ήταν ο πρώτος που επιχείρησε να ορίσει την έννοια της ασάφειας. Πιο συγκεκριμένα ο Russell [1] την όρισε ως εξής:

Μια αναπαράσταση είναι ασαφής αν η σχέση ενός συστήματος αναπαράστασης προς ένα αναπαριστώμενο σύστημα δεν είναι απλά ένα προς ένα αλλά ένα προς πολλά.

Με άλλα λόγια, όταν η αναπαράσταση ενός αντικειμένου μπορεί να γίνει με πολλά και διαφορετικά αντικείμενα και όχι με ένα μοναδικό, τότε μιλάμε για ασάφεια. Ο Russel παρουσιάζει ως τυπικό παράδειγμα ασάφειας μια φωτογραφία ενός προσώπου τόσο τσαλακωμένη που μπορεί κάλλιστα να αναπαριστά την Λίλα, την Άννα ή την Στέλλα (εννοείται βέβαια πως τα πρόσωπα αυτά μοιάζουν κάπως).

Στο σημείο αυτό είναι εξαιρετικά σημαντικό να τονισθεί πως η ασάφεια είναι κάτι εντελώς διαφορετικό από τη γενικότητα αλλά και την έννοια του διφορούμενου. Όπως αναφέρει ο Russel μία πρόταση είναι γενική αν αναφέρεται σε μία γενική έννοια π.χ. «αυτός είναι ένας άντρας» η οποία μπορεί να επαληθευτεί από ένα αριθμό γεγονότων όπως για παράδειγμα το «αυτός» να είναι ο Σάκης, ο Νίκος ή ο Γιώργος. Από την άλλη μια πρόταση είναι διφορούμενη αν μπορεί να έχει τουλάχιστον δύο διαφορετικές σημασίες την ίδια στιγμή. Για παράδειγμα, η πρόταση «Έφαγε τα μπισκότα στον καναπέ» μπορεί να σημαίνει πως κάποιος έφαγε τα μπισκότα που ήταν στον καναπέ ή πως κάποιος πήρε και έφαγε τα μπισκότα του πάνω στον καναπέ.

Υπάρχουν τουλάχιστον τρεις διαφορετικοί τρόποι περιγραφής της ασάφειας:

τα ασαφή υποσύνολα ή οι λογικές πολλαπλών τιμών αληθείας

η θεωρία του supervaluationism και

η θεωρία του contextualism.

Επειδή οι περισσότεροι ταυτίζουν την ασάφεια με τα ασαφή υποσύνολα αλλά και τις λογικές πολλαπλών τιμών αληθείας, δεν θα παρουσιάσω ούτε τον supervaluationism αλλά ούτε και τον contextualism.

Στα μαθηματικά ένα σύνολο αποτελεί μία συλλογή από καλώς ορισμένες και ξεχωριστές οντότητες. Κάθε σύνολο είναι το ίδιο μια ξεχωριστή οντότητα. Αντικείμενα που απαρτίζουν ένα σύνολο ονομάζονται στοιχεία. Ένα σύνολο που αποτελείται από μερικά στοιχεία ενός συνόλου ονομάζεται υποσύνολο του. Γενικά ένα στοιχείο είτε ανήκει είτε δεν ανήκει σ' ένα σύνολο. Για παράδειγμα, το 2 ανήκει στο σύνολο των άρτιων ακεραίων αριθμών ενώ το 7 δεν ανήκει στο ίδιο σύνολο. Υπάρχουν όμως πάμπολλες περιπτώσεις όπου δεν μπορούμε να είμαστε απόλυτα σίγουροι για το αν ένα στοιχείο ανήκει ή δεν είναι ανήκει σ' ένα σύνολο. Έτσι η Λίλα δεν είναι ούτε ψηλή αλλά ούτε κοντή αλλά είναι ψηλή ή κοντή σε κάποιο βαθμό, ο οποίος συνήθως είναι ένας αριθμός μεταξύ του 0 και του 1. Αυτή είναι η βασική ιδέα στην οποία στηρίζονται τα ασαφή υποσύνολα. Όταν έχουμε ένα κανονικό σύνολο, το οποίο ονομάζουμε σύνολο αναφοράς, μπορούμε να ορίσουμε διάφορα ασαφή υποσύνολά του. Για παράδειγμα, έστω ότι έχουμε το σύνολο των μαθητών ενός σχολείου. Τότε μπορούμε να σχηματίσουμε τα ασαφή υποσύνολα των ψηλών μαθητών, των χοντρών μαθητών, των καλών μαθητών κ.ο.κ. Αυτή είναι η βασική ιδέα πίσω από την ασαφή θεωρία υποσυνόλων.

Η θεωρία των ασαφών υποσυνόλων εισήχθη από τον μηχανικό Lotfi Asker Zadeh [2] το 1965. Πιο συγκεκριμένα ο Zadeh όρισε τόσο την έννοια του ανήκει σε βαθμό όσο και τις διάφορες πράξεις μεταξύ ασαφών υποσυνόλων. Ο Zadeh πήγε ένα βήμα παρακάτω και πρότεινε μια γενίκευση της λογικής όπου οι διάφορες προτάσεις μπορούν να λάβουν ως τιμές αλήθειας αριθμούς που είναι το 0 (απολύτως ψεύδες), το 1 (απολύτως αληθές) και όλοι οι αριθμούς μεταξύ του 0 και του 1. Αντίθετα, στη συνήθη μαθηματική λογική μια πρόταση είναι είτε αληθής είτε ψευδής. Για παράδειγμα η πρόταση «3>2» είναι αληθής ενώ η πρόταση «4=5» είναι ψευδής. Όπως είδαμε στην προηγούμενη παράγραφο υπάρχουν προτάσεις που δεν είναι δυνατόν να χαρακτηριστούν ως αληθείς ή ως ψευδείς. Μάλιστα πρώτος ο Αριστοτέλης ήταν αυτός πως αναγνώρισε πως υπάρχουν προτάσεις που δεν μπορούν να χαρακτηρισθούν ως αληθείς ή ως ψευδείς. Πιο συγκεκριμένα στο 11ο κεφάλαιο της πραγματείας του με τίτλο «Περὶ Ερμηνείας», η οποία αποτελεί μέρος του Οργάνου, αναφέρει πως δεν μπορούμε να πούμε αν μια πρόταση που αναφέρεται στο μέλλον είναι αληθής ή όχι. Ουσιαστικά με τον τρόπο εισήγαγε μια τρίτη τιμή αλήθειας. Αυτή η τιμή αλήθειας είναι πλέον γνωστή ως απροσδιόριστη τιμή αληθείας. Πολύ αργότερα, στις αρχές του 20ου αιώνα ο Πολωνός μαθηματικός Jan Łukasiewicz [3] επανέφερε στη μαθηματική λογική την έννοια των πολλαπλών τιμών αληθείας προτείνοντας λογικές με 3, 4 ή και περισσότερες τιμές αλήθειας. Αργότερα ο Emil Post αναφέρθηκε και αυτός σε λογικές πολλαπλών τιμών αληθείας. Το ενδιαφέρον στην περίπτωση της λεγομένης ασαφούς λογικής είναι πως οι τιμές αληθείας είναι άπειρες μιας και το σύνολο των αριθμών μεταξύ του 0 και του 1 είναι ένα απειροσύνολο. Επειδή το σύνολο αυτό περιέχει αριθμούς που είναι άρρητοι, δηλαδή αριθμοί με άπειρα δεκαδικά μη-περιοδικά ψηφία, πολλοί υποστηρίζουν πως δεν έχει νόημα να λέμε πως μία πρόταση έχει τιμή αληθείας ας πούμε π/4, όπου 2π το μήκος περιφέρειας ενός κύκλου με ακτίνα 1. Ο λόγος για τον οποίο αντιτίθονται στην χρήση των αρρήτων αριθμών είναι ότι οι αριθμοί αυτοί δεν είναι υπολογίσιμοι επειδή απλά δεν μπορούμε να γράψουμε όλα τα δεκαδικά ψηφία της τετραγωνικής ρίζας του 2. Για τον λόγο αυτό πολλοί υποστηρίζουν πως οι τιμές αλήθειας θα πρέπει να είναι οι ρητοί αριθμοί μεταξύ του 0 και του 1.

Ασφαλώς ένας νηφάλιος αναγνώστης θα αναρωτηθεί τι το νέο προσφέρει η ασαφής θεωρία συνόλων τη στιγμή μάλιστα που αυτή μοιάζει τόσο πολύ με τη θεωρία πιθανοτήτων; Η θεωρία πιθανοτήτων ασχολείται με την πιθανότητα, την ανάλυση των τυχαίων γεγονότων. Τώρα, η παραπάνω παρατήρηση είναι πως σε πρώτη λογική καθώς μπορούμε να ισχυριστούμε πως τα ασαφή σύνολα είναι απλά πιθανότητες να συμβεί κάτι. Αυτός είναι και ο λόγος που αυτή παρατήρηση αποτελεί τη βάση μιας πολύ έντονης αντιπαράθεσης μεταξύ των υποστηρικτών και των πολέμιων της ασαφούς θεωρίας συνόλων. Αλλά ας δούμε αν το αρχικό επιχείρημα ευσταθεί ή όχι.

Καταρχήν θα πρέπει να αναφερθεί πως αρκετοί μελετητές και ερευνητές θεωρούν πως η ασάφεια οφείλεται στην έλλειψη πληροφοριών. Όμως από την άλλη «η εμπειρία δείχνει πως καμία μέτρηση, όσο προσεκτικά και αν γίνει, δεν μπορεί να είναι πλήρως απαλλαγμένη από αβεβαιότητες» [4. σελ. 3]. Με άλλα λόγια η ασάφεια είναι βασική ιδιότητα του κόσμου που ζούμε και δεν έχει να κάνει σε τίποτα με την έλλειψη πληροφοριών. Αλλά ας δούμε τώρα μια άλλη πτυχή της διαφοράς μεταξύ ασαφών συνόλων και της θεωρίας πιθανοτήτων.

Έστω ότι κάποιος ισχυρίζεται πως η Λίλα είναι 75% ψιλή. Η πρόταση αυτή μπορεί να είναι αληθής ή ψευδής. Από την άλλη η «πρόταση» η Λίλα είναι ψιλή σε βαθμό 0,75 είναι μια σύνθετη πρόταση η οποία αποτελείται από την πρόταση η Λίλα είναι ψιλή καθώς και την τιμή αληθείας της. Βέβαια κάποιος μπορεί να ισχυριστεί πως στην πραγματικότητα και η πρώτη πρόταση είναι μια σύνθετη πρόταση αλλά θα πρέπει να τονιστεί πως «…το αναφερόμενο των πιθανοθεωρητικών προτάσεων, ειδικά των κατανομών πιθανότητας, είναι ένα αφηρημένο αντικείμενο το οποίο πραγματεύεται η θεωρία πιθανοτήτων. Οι πιθανοθεωρητικές προτάσεις δεν αναφέρονται σε συγκεκριμένα αντικείμενα τα οποία έχουν τις ιδιότητες (μεταξύ άλλων) αυτού του αφηρημένου αντικειμένου.» [5]

Σε απλά ελληνικά αυτό σημαίνει πως όταν λέμε ότι η πιθανότητα να φέρουμε 1/6 αν ρίξουμε ένα ζάρι, αυτός ο αριθμός αναφέρεται σ' ένα σχεδόν ιδανικό ζάρι ενώ απ´ο την άλλη όταν λέμε πως η Λίλα είναι ψηλή σε βαθμό 0,7, τότε αναφερόμαστε στα χαρακτηριστικά ενός συγκεκριμένου προσώπου. Άρα η διαφορά των δύο προσεγγίσεων είναι πολύ πιο βαθιά από ότι εκ πρώτης όψεως φαίνεται. Για τον λόγο αυτό δεν θα επεκταθώ παραπέρα. Αντίθετα, θα παρουσιάσω μερικές περιπτώσεις που μπορούν ν' αντιμετωπιστούν με τη ασαφή θεωρία συνόλων αλλά όχι με τη θεωρία πιθανοτήτων.

O Zadeh [6] αναγνώρισε τις παρακάτω περιπτώσεις οι οποίες δεν μπορούν να περιγραφούν στην γλώσσα της θεωρίας πιθανοτήτων:

Εκφράσεις όπως «αύριο θα έχει ζέστη» ή «θα γίνει ένας ισχυρός σεισμός στο άμεσο μέλλον».

Λέξεις ειδικής σημασίας όπως πολλοί, περισσότεροι, λίγοι κ.ο.κ.

Δεν είναι δυνατό να κάνουμε εκτιμήσεις που αναφέρονται σε ασαφείς πιθανότητες που εκφράζονται με λέξεις όπως πιθανώς, απιθάνως, όχι τόσο πιθανό κ.ο.κ..

Είναι δύσκολο (;) ν' αναλύσουμε προβλήματα στα οποία τα δεδομένα περιγράφονται με ασαφείς (fuzzy) όρους.

Από τα παραπάνω γίνεται σαφές πως υπάρχουν δύο τουλάχιστον απόψεις όσον αφορά την αξία των ασαφών συνόλων:

Τα ασαφή σύνολα δεν έχουν να προσφέρουν απολύτως τίποτα και

Τα ασαφή σύνολα είναι ένας ξεχωριστός και διαφορετικός τρόπος προσέγγισης της ασάφειας και της αβεβαιότητας.

Η αλήθεια είναι πως υπάρχει και μία τρίτη την οποία ευαγγελίζεται ο Bart Kosko [7]. Σύμφωνα με την άποψη αυτή η ασάφεια είναι μια βασική ιδιότητα του κόσμου μας και ως εκ τούτου η ασαφής θεωρία συνόλων είναι βασικότατη. Η προσωπική μου άποψη είναι πως η ασάφεια είναι βασική ιδιότητα του κόσμου μας όπως άλλωστε τονίστηκε παραπάνω. Μάλιστα θεωρώ πως η ασαφής θεωρία συνόλων θα πρέπει να αντικαταστήσει την θεωρία πιθανοτήτων σε πολλούς τομείς της έρευνας. Για παράδειγμα, θα ήταν εξαιρετικά ενδιαφέρον να δούμε τι μορφή που θα έπαιρνε η κβαντική μηχανική αν η θεωρία πιθανοτήτων αντικαθίσταντο από την ασαφή θεωρία συνόλων; Βέβαια έχουν γίνει κάποιες προσπάθειες αλλά το αντικείμενο είναι εξαιρετικά εξειδικευμένο και ξεφεύγει από τα όρια μιας γενικής εισαγωγής όπως το παρόν κείμενο.

Μολονότι υπάρχουν πολλές εφαρμογές της ασαφούς θεωρίας υποσυνόλων, θεωρώ πως η σημαντικότερη «εφαρμογή» της είναι στη θεωρία υπολογισιμότητας. Από τη στιγμή που ασάφεια είναι μια βασική ιδιότητα του κόσμου που μας περιβάλλει, θα πρέπει αυτός να την λαμβάνει υπόψη του με τον ένα ή τον άλλο τρόπο. Φυσικά είναι γεγονός πως οι σημερινοί υπολογιστές λειτουργούν χωρίς να έχει ληφθεί υπόψη στον σχεδιασμό τους οποιαδήποτε μορφή ασάφειας. Από την άλλη θεωρητικές μελέτες όπως αυτή του Jiří Wiedermann [8]. Ο Wiedermann έδειξε πως μια ασαφής μηχανή Turing μπορεί να υπολογίζει και να αποφασίζει σύνολα και προτάσεις μη-υπολογίσιμες. Το θέμα της ασαφούς θεωρίας υπολογισιμότητας παρουσιάζεται σε ένα βιβλίο του συγγραφέα το οποίο θα εκδοθεί από τη Springer.

Βιβλιογραφία


[1] Ruseel, B. Vagueness. Australasian Journal of Philosophy 1, 2 (1923), 84–92.
[2] Zadeh, L. A. Fuzzy Sets. Information and Control 8 (1965), 338–353.
[3] Łukasiewicz, J. O logice trojwartosciowej, Ruch Filozoficny, 5:(1920), 170–171.
[4] Taylor, J. R. An Introduction to Error Analysis: The Study of Uncertainties in Physical Measure ments, 2nd ed. University Science Books, Sausalito, CA, USA, 1997.
[5] Cook, D.B. Probability and Schrödinger’s Mechanics. World Scientific, Singapore, 2002.
[6] Zadeh, L. A. Discussion: Probability Theory and Fuzzy Logic Are Complementary Rather an Competitive. Technometrics 37, 3 (1995), 271–276.
[7] Kosko, B. Fuzziness vs. Probability. International Journal of General Systems 17, 2 (1990), 211–240.
[8] Wiedermann, J. Characterizing the super-Turing computing power and efficiency of classical fuzzy Turing machines. eoretical Computer Science 317 (2004), 61–69.




Ευχαριστώ την κ. Αρετή Οξύζογλου για τα σχόλια και τις παρατηρήσεις της.


Πηγή: Απόστολος Συρόπουλος, Αντίφωνο