Φιλοσοφία και Μαθηματικά: Πού συναντώνται - πού διαφέρουν;

Θα έλεγα ότι υπάρχει μια μεγάλη διαφορά μεταξύ μαθηματικών και φιλοσοφίας, η οποία μπορεί να συνοψιστεί στο εξής: Τα μαθηματικά στη «δουλειά» τους είναι συνολοταυτιστικά, δηλαδή εργάζονται με τη λογική την οποία εγώ ονομάζω συνολοταυτιστική. Πρόκειται για τη λογική της θεωρίας των συνόλων, με οποιεσδήποτε εκλεπτύνσεις ή επεξεργασίες μπορεί αυτή να έχει υποστεί τον 20ό αιώνα. (Η θεωρία των συνόλων, άλλωστε, είναι κατ' ουσίαν θεωρία του 20ού αιώνα.) Και λέω ταυτιστική, διότι το βασικό της αξίωμα είναι η αρχή της ταυτότητας, η αρχή της μη αντίφασης. Λοιπόν, τα μαθηματικά είναι συνολοταυτιστικά στη «δουλειά» τους, από τη μια μεριά. Από την άλλη, όσον αφορά τη «θέση», την επιλογή των αξιωμάτων τους, είναι αυστηρώς ποιητικά, δηλαδή είναι «δημιουργικά».

Είναι προφανές ότι υπάρχουν περιπτώσεις όπου μπορεί να πει κανείς ότι οι μαθηματικοί, έπειτα από πολλή δουλειά, συνήγαγαν τα αξιώματα από το σύνολο των προτάσεων που είχαν μπροστά τους (ή, αλλιώς, τα υπήγαγαν σ' αυτές). Μπορούμε να πούμε, για παράδειγμα, ότι ο Ευκλείδης είχε μπροστά του μια τεράστια γεωμετρική δουλειά, το προϊόν των τριών προηγουμένων αιώνων, και, διατυπώνοντας για πρώτη φορά την υποθετικοαπαγωγική μέθοδο, διερωτήθηκε ποιο είναι το ελάχιστο των αρχών που μπορούν να στηρίξουν αυτά τα θεωρήματα, τα οποία, κατά τα άλλα, είναι αληθή ή αληθοφανέστατα· έτσι «οδηγήθηκε» στα αξιώματά του. Γενικότερα, όμως, αυτό που χαρακτηρίζει τη δουλειά των μαθηματικών είναι η «θέση», η επιλογή αξιωμάτων τα οποία δεν συνάγονται από κάποια εμπειρία, ούτε βγαίνουν απλώς λογικά. διότι, αν παράγονταν λογικά, δεν θα ήταν αξιώματα, θα ήταν θεωρήματα της λογικής. Δείτε λοιπόν, λόγου χάρη, τα διάφορα συστήματα αξιωμάτων τα οποία στηρίζουν τις διάφορες μορφές της τοπολογίας και θα καταλάβετε. Συνεπώς, τα μαθηματικά δεν είναι απλώς αποδοχή λογικών αρχών και μεταμαθηματικών κανόνων. Εάν δεν είχε υπάρξει «δημιουργία» νέων αξιωμάτων, όποτε εμφανίστηκε η ανάγκη, τα μαθηματικά θα είχαν σταματήσει προ πολλού. Σημειώστε εδώ το παράδειγμα της Κίνας, στην οποία εμφανίστηκαν στην αρχαιότητα σπουδαιότατοι μαθηματικοί, οι οποίοι σε κάποια χρονική στιγμή «κόλλησαν» κάπου και δεν μπόρεσαν να αναπτύξουν περαιτέρω τη σκέψη τους.

Επιλογή αξιωμάτων

Οσον αφορά τη δημιουργία στα μαθηματικά, πέραν της συνολοταυτιστικής λογικής δεν υπάρχει κανένας περιορισμός ή εξαναγκασμός που να οδηγεί σε αυτήν, που να την κατευθύνει. Δεν υφίσταται κάτι που να περιορίζει την επιλογή των αξιωμάτων, εκτός, φυσικά, από τη μη αντιφατικότητα, τη συμβιβαστότητα των αξιωμάτων, αλλά και την επάρκειά τους. αλλά μόνον με τις δύο αυτές αρχές δεν μπορεί κανείς να δημιουργήσει αξιώματα. αυτές αποτελούν απλώς αρνητικούς όρους. Αντιθέτως, η φιλοσοφία δεν υπακούει, παρά μόνον εν μέρει και κατά εργαλειακό τρόπο στη συνολοταυτιστική λογική, διότι το αντικείμενό της υπερβαίνει τα σύνολα, ή τα συνολοποιήσιμα όντα, και ασχολείται με αυτό που ονομάζω μάγμα.

Θα δώσω πρώτα ένα εύληπτο παράδειγμα. Ολες οι παραστάσεις που έχετε μέσα στο κεφάλι σας ή που μπορεί να σας έρθουν, καθώς ονειροπολείτε, καθώς συλλογίζεστε κ.λπ., δεν αποτελούν ένα σύνολο με τη μαθηματική έννοια. Διότι ένα σύνολο, για να επανέλθουμε στον παλαιό και δήθεν αφελή ορισμό του Cantor, αποτελείται από στοιχεία ορισμένα και διακεκριμένα τα μεν από τα δε, είτε του πραγματικού κόσμου είτε της σκέψης μας. Οι παραστάσεις μας, όμως, δεν αποτελούνται από στοιχεία διακεκριμένα και ορισμένα! Δεν μπορείτε να τα «χωρίσετε», διότι αν, λόγου χάρη, σκεφθείτε την παράσταση της μητέρας σας, θα διαπιστώσετε ότι δεν μπορείτε να πείτε «ιδού το σύνολο των στοιχείων που την απαρτίζουν», και αυτό συμβαίνει για πολλούς και διαφόρους λόγους, οι οποίοι είναι προφανείς. Θα ορίσετε την παράσταση της μητέρας σας βάζοντας μέσα την τάδε σκηνή της παιδικής σας ηλικίας, στην οποία η μητέρα σας παίζει έναν ορισμένο ρόλο, θα προσθέσετε όλες τις σκέψεις που κάνετε γι' αυτήν ή ό,τι θυμόσαστε γι' αυτήν, ή όλη την οικογένειά της, ή κάτι που σας είπε για τον παππού της κ.λπ., και έτσι θα φθάσετε στο άπειρο ή, σωστότερα, στο απεριόριστο. Ενα άλλο, αρκετά συγγενές παράδειγμα αφορά στις σημασίες των λέξεων της ελληνικής γλώσσας ή οποιασδήποτε γλώσσας· δεν μπορείτε να χωρίσετε τα σημαινόμενά τους και να τα ορίσετε με μεθόδους συνολοταυτιστικές. Μπορείτε βέβαια να συντάξετε λεξικά, λόγου χάρη όρων της γεωπονικής, της αεροδυναμικής κ.λπ., αλλά θα είναι τεχνικά και επιμέρους. Τούτο καθίσταται δυνατόν ακριβώς επειδή οι ενασχολήσεις με αυτά τα θέματα είναι εργαλειακές, συνολοταυτιστικές. Ομως, εάν επιχειρήσετε να γράψετε ένα λεξικό των πραγματικών σημασιών των λέξεων μιας γλώσσας, θα δείτε ότι τα πράγματα είναι διαφορετικά. Ας πάρουμε, για παράδειγμα, το ποίημα που περιέχει τον στίχο «και τον βοριά τον δροσερό τον πήραν τα καράβια». Εδώ υπάρχει ένας παραλογισμός, αφού, στην πραγματικότητα, τα καράβια δεν παίρνουν τον βοριά, αλλά αντιθέτως ο βοριάς παίρνει τα καράβια. Πρόκειται για καθαρά μαγματική, ποιητική έκφραση, που παραβιάζει τους κανόνες της λογικής, συνολοταυτιστικής χρήσης των όρων βοριάς, καράβια κ.λπ. Αλλωστε, οι περισσότεροι σπουδαίοι στίχοι είναι έτσι.

Αν θέλαμε τώρα να δώσουμε έναν αυστηρό ορισμό του μάγματος, θα λέγαμε το εξής: «Ενα μάγμα είναι αυτό από το οποίο μπορούμε να αφαιρέσουμε έναν απροσδιόριστο αριθμό συνόλων ή μέσα στο οποίο μπορούμε να κατασκευάσουμε έναν απεριόριστο αριθμό συνόλων, αλλά το οποίο δεν μπορούμε συνολικά να το αναπαραγάγουμε ή να το κατασκευάσουμε με τις συνολιστικές διαδικασίες, δηλαδή με μια συνδυαστική, οιασδήποτε πολυπλοκότητας και οιασδήποτε λεπτότητας». Το αντικείμενο της φιλοσοφίας, επί παραδείγματι η οντολογία, είτε είναι οντολογία του ανθρωπίνου όντος είτε οντολογία της φύσης κ.λπ., αναφέρεται σε μάγματα. Φυσικά, για να μιλήσουμε για τα μάγματα, καταφεύγουμε συνεχώς σε εργαλειακές χρήσεις της συνολοταυτιστικής λογικής και προσπαθούμε να δώσουμε μονοσήμαντες εκδοχές στις λέξεις, οι οποίες, όσο λιγότερο αφορούν σε πραγματικά αντικείμενα, όπως ένα τραπέζι, ένα πακέτο τσιγάρα κ.λπ., τόσο λιγότερο επιδέχονται τη μονοσημαντότητα. Σε αντίθεση με τα μαθηματικά, τα οποία, αφού διατυπωθούν τα αξιώματά τους, «δουλεύουν» πλέον συνολοταυτιστικά, η φιλοσοφία δεν έχει αξιώματα και δεν δουλεύει συνολοταυτιστικά· απλώς χρησιμοποιεί μόνον εργαλειακά αυτή τη λογική. Από την άλλη μεριά, ενώ η δημιουργία αξιωμάτων στα μαθηματικά δεν υφίσταται κανέναν περιορισμό ή καταναγκασμό, εκτός από τους τετριμμένους, ήτοι της μη αντίφασης, ενδεχομένως της επάρκειας κ.λπ., αντιθέτως, η φιλοσοφία εργάζεται υπό έναν αυστηρό καταναγκασμό, αυτόν της πραγματικότητας. η φιλοσοφία ασχολείται με την πραγματικότητα, ενώ τα μαθηματικά δεν ασχολούνται με αυτήν. Και η φιλοσοφία ασχολείται με τα μαθηματικά, στο μέτρο που τα μαθηματικά είναι πραγματικότητα. Διότι, όπως είπα πριν, η φιλοσοφία ασχολείται με το σύνολο της ανθρώπινης εμπειρίας και συνεπώς ασχολείται και με την πραγματικότητα, όπως αυτή εμφανίζεται μέσα στην ανθρώπινη εμπειρία.

Αιτιακές σχέσεις

Γι' αυτόν άλλωστε τον λόγο δεν είναι φιλοσοφικές ορισμένες ιδέες που εμφανίζονται ως τέτοιες, όπως, λόγου χάρη, ένα από τα τελευταία «προϊόντα» του Heidegger, το περίφημο Gevier, δηλαδή η τετράδα, την οποία αποτελούν η γη, ο ουρανός, οι άνθρωποι και οι θεοί. Αυτό δεν είναι φιλοσοφία, δεν ανταποκρίνεται σε τίποτε, είναι ποίηση, κακή ποίηση, ούτε καν καινούργια. Η φιλοσοφία δεν μπορεί να βιάσει την πραγματικότητα, επομένως δεν μπορεί να γίνει δεκτή μία «φιλοσοφία» ενός πλήρους ενδεχομενισμού ή μια «φιλοσοφία» του πλήρως τυχαίου, που θα επέμενε ότι πουθενά και ποτέ δεν υπάρχουν αιτιακές σχέσεις. Διότι δεν μπορούμε να αρνηθούμε ότι υπάρχουν αιτιακές σχέσεις και ότι, αν καταπιώ μερικά γραμμάρια αρσενικού, θα με πιάσει τρομερός πόνος στο στομάχι και μετά θα πεθάνω. Η φιλοσοφία δεν μπορεί να βιάσει την πραγματικότητα και δεν δικαιούται να την αγνοήσει ή να αγνοήσει μέρη της. Μια φιλοσοφία που θα αγνοούσε την τέχνη, την ιστορία, την ψυχή κ.λπ. θα ήταν και ανεπαρκής. ΚΟΡΝΗΛΙΟΣ ΚΑΣΤΟΡΙΑΔΗΣ

Μαθηματικά και Φιλοσοφία - Νίκος Λυγερός

- Πώς είναι δυνατόν να θεωρείς τα Μαθηματικά ως Τέχνη;

- Διότι είναι η αλήθεια.

- Και νομίζεις ότι αυτή η απάντηση είναι αφοπλιστική.

- Δεν ήξερα ότι οπλοφορούσες.

- Ξέρεις τι μου θύμισες τώρα;

- Το τζάκι…

- Ναι! Πώς το ξέρεις;

- Εκεί διαβάσαμε για πρώτη φορά μαζί.

- Ludwig Wittgenstein.

- Tractatus Logicoo – philosophicus.

- Πάντα διάβαζες έτσι.

- Απλώς μελετώ.

- Τα πάντα.

- Ό,τι αξίζει.

- Και τότε πώς το ήξερες;

- Ακόμα και η εισαγωγή βοηθά.

- Εννοείς ότι σε προετοιμάζει.

- Ναι, ακριβώς.

- Δεν είναι πολύπλοκος όμως;

- Πάντως δεν είναι περίπλοκος.

- Αυτό είναι σημαντικό.

- Ουσιαστικό μάλλον.

- Και τα Μαθηματικά του.

- Λογική!

- Τότε είναι και αυτή τέχνη.

- Σωστά.

- Αυτό δεν είναι παράδοξο;

- Όχι. Είναι θέμα συνέπειας.

- Αυτό είναι όλο;

- Αυτό είναι πολλά.

- Πολλά;

- Ολόκληρη φιλοσοφία!

Πηγή: Ελευθεροτυπία, 09/10/2004